Giuo mik vs

Câu 1. Để rút gọn biểu thức \( P = x^3 \cdot \sqrt{x} \) với \( x > 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa: Ta biết rằng \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Do đó, biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = x^3 \cdot x^{\frac{1}{2}} \] 2. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các指数。因此，表达式 \( P \) 变为： \[ P = x^{3 + \frac{1}{2}} \] 3. 简化分数指数：将分数相加。 \[ 3 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \] 因此， \[ P = x^{\frac{7}{2}} \] 综上所述，正确答案是 \( D.~P = x^{\frac{7}{2}} \)。 最终答案是 \( D.~P = x^{\frac{7}{2}} \)。 Câu 2. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_5(4x - x^2) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: \[ 4x - x^2 > 0 \] Bước 1: Giải bất phương trình \( 4x - x^2 > 0 \). Ta viết lại bất phương trình dưới dạng: \[ x(4 - x) > 0 \] Bước 2: Tìm các điểm làm thay đổi dấu của bất phương trình. \( x = 0 \) và \( 4 - x = 0 \Rightarrow x = 4 \) Bước 3: Xác định các khoảng để kiểm tra dấu của bất phương trình. - Khi \( x < 0 \): Chọn \( x = -1 \), ta có \( (-1)(4 - (-1)) = (-1)(5) = -5 \) (dấu âm) - Khi \( 0 < x < 4 \): Chọn \( x = 2 \), ta có \( (2)(4 - 2) = (2)(2) = 4 \) (dấu dương) - Khi \( x > 4 \): Chọn \( x = 5 \), ta có \( (5)(4 - 5) = (5)(-1) = -5 \) (dấu âm) Bước 4: Kết luận tập xác định. Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( x(4 - x) > 0 \) khi \( 0 < x < 4 \). Vậy tập xác định của hàm số \( y = \log_5(4x - x^2) \) là: \[ D = (0, 4) \] Đáp án đúng là: \( A.~D = (0, 4) \) Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A' đều vuông góc với nhau và có độ dài bằng nhau. Ta xét góc giữa hai đường thẳng BA' và CD. Để làm điều này, ta cần tìm một đường thẳng song song với BA' và nằm trong mặt phẳng chứa CD. Ta thấy rằng đường thẳng A'D' song song với BA' vì cả hai đều vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và có cùng chiều dài. Do đó, góc giữa BA' và CD sẽ bằng góc giữa A'D' và CD. Trong mặt phẳng (A'D'C'), ta thấy rằng A'D' và CD vuông góc với nhau tại điểm D'. Vì vậy, góc giữa A'D' và CD là 90°. Do đó, góc giữa hai đường thẳng BA' và CD cũng là 90°. Đáp án đúng là: D. 90°. Câu 4. Để tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao: Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \) là đường cao hạ từ đỉnh \( S \) xuống mặt phẳng (ABC). 2. Tìm hình chiếu của điểm \( C \) trên mặt phẳng (ABC): Hình chiếu của \( C \) trên mặt phẳng (ABC) là chính điểm \( C \) vì \( C \) nằm trong mặt phẳng (ABC). 3. Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC): Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa đường thẳng SC và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC). Trong trường hợp này, hình chiếu của \( C \) trên mặt phẳng (ABC) là \( C \) nên góc giữa SC và (ABC) chính là góc \( \angle ASC \). 4. Tính góc \( \angle ASC \): - Ta biết rằng \( SA = a \) và \( AC = a \) (vì tam giác ABC đều cạnh a). - Trong tam giác SAC, \( SA \perp AC \), do đó tam giác SAC là tam giác vuông tại A. - Do đó, \( \angle ASC = 45^\circ \) (vì trong tam giác vuông cân, hai góc nhọn đều bằng 45°). Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là \( 45^\circ \). Đáp án đúng là: \( B.~45^0 \). Câu 5. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') có giao tuyến là đường thẳng AC. 2. Chọn một đường thẳng nằm trong mỗi mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến AC: - Chọn đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC (vì ABCD là hình vuông). - Chọn đường thẳng AA' nằm trong mặt phẳng (ACC'A') và vuông góc với AC (vì AA' là cạnh đứng của hình lập phương). 3. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AA': - Vì BD nằm trong mặt phẳng (ABCD) và AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên góc giữa BD và AA' chính là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A'). - Ta thấy rằng AA' vuông góc với cả BD và AC, do đó góc giữa BD và AA' là góc vuông (90°). 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là góc giữa đường thẳng BD và đường thẳng AA'. - Vì AA' vuông góc với BD, nên góc giữa hai mặt phẳng này là 90°. Do đó, góc giữa mặt phẳng (ABCD) và (ACC'A') là \(90^\circ\). Đáp án đúng là: \(D.~90^\circ\). Câu 6. Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Điều này có nghĩa là SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD. Do đó, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). Vì sao? Vì trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm và tạo ra hai tam giác cân đều. Do đó, khoảng cách từ A đến (SBD) sẽ bằng khoảng cách từ C đến (SBD). Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) cũng là $\frac{6a}{7}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{6a}{7}$. Câu 7. Để tính thể tích của khối tứ diện ABCD, ta có thể sử dụng công thức tính thể tích của khối chóp: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong trường hợp này, ta chọn tam giác ABC làm đáy và AD làm chiều cao. 1. Tính diện tích đáy (tam giác ABC): - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A với AB = AC = 2a. - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \] 2. Chiều cao từ đỉnh D đến đáy ABC là AD = 3a. 3. Tính thể tích khối chóp ABCD: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times AD = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 3a = 2a^3 \] Vậy thể tích của khối tứ diện ABCD là \( V = 2a^3 \). Đáp án đúng là: \( C.~V=2a^3 \). Câu 8. Để tính xác suất hai viên bi được chọn cùng màu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 2 viên bi từ hộp: Hộp có tổng cộng 9 viên bi (4 xanh + 3 đỏ + 2 vàng). Số cách chọn 2 viên bi từ 9 viên bi là: \[ C_9^2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \] 2. Tìm số cách chọn 2 viên bi cùng màu: - Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh: \[ C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \] - Số cách chọn 2 viên bi đỏ từ 3 viên bi đỏ: \[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \] - Số cách chọn 2 viên bi vàng từ 2 viên bi vàng: \[ C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2 \times 1}{2 \times 1} = 1 \] Tổng số cách chọn 2 viên bi cùng màu là: \[ 6 + 3 + 1 = 10 \] 3. Tính xác suất: Xác suất để chọn 2 viên bi cùng màu là: \[ P(X) = \frac{\text{Số cách chọn 2 viên bi cùng màu}}{\text{Tổng số cách chọn 2 viên bi}} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~P(X)=\frac{5}{18}. \] Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng các viên bi chẵn trong hộp II và sau đó tính xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn từ cả hai hộp. Bước 1: Xác định số lượng các viên bi chẵn trong hộp II. - Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II là $\frac{3}{10}$. - Điều này có nghĩa là trong hộp II có 3 viên bi chẵn và 7 viên bi lẻ (vì tổng cộng có 10 viên bi). Bước 2: Xác định số lượng các viên bi chẵn trong hộp I. - Hộp I có 9 viên bi được đánh số từ 1 đến 9. - Các số chẵn trong khoảng từ 1 đến 9 là 2, 4, 6, 8. Vậy hộp I có 4 viên bi chẵn. Bước 3: Tính xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. - Xác suất để lấy được viên bi chẵn từ hộp I là $\frac{4}{9}$. - Xác suất để lấy được viên bi chẵn từ hộp II là $\frac{3}{10}$. - Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là: \[ P = \frac{4}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~P=\frac{2}{15} \] Câu 10. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \ln(1 - x^2)$, ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên và chuỗi. Bước 1: Xác định hàm số con bên trong lôgarit. $f(x) = 1 - x^2$ Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số con. $f'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^2) = -2x$ Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm lôgarit tự nhiên $\ln(u)$, với $u$ là hàm số của $x$: \[ \left(\ln(u)\right)' = \frac{u'}{u} \] Trong trường hợp này, $u = 1 - x^2$, do đó: \[ y' = \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{-2x}{1 - x^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = \ln(1 - x^2)$ là: \[ y' = \frac{-2x}{1 - x^2} \]