Hahshhshavshshdhd

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định tổng số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ Tổng số cách rút 2 thẻ từ 20 thẻ là: \[ C_{20}^2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190 \] Bước 2: Xác định số cách rút 2 thẻ sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn Tích của hai số là số chẵn nếu ít nhất một trong hai số là số chẵn. Ta sẽ tính số cách rút 2 thẻ sao cho cả hai số đều là số lẻ và trừ đi từ tổng số cách rút 2 thẻ. - Số thẻ lẻ là 10 (từ 1, 3, 5, ..., 19) - Số cách rút 2 thẻ lẻ từ 10 thẻ lẻ là: \[ C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] Do đó, số cách rút 2 thẻ sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn là: \[ 190 - 45 = 145 \] Xác suất để rút được 2 thẻ sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn là: \[ P(\text{tích là số chẵn}) = \frac{145}{190} = \frac{29}{38} \] Bước 3: Xác định biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" xảy ra khi ít nhất một trong hai số là số chẵn. Điều này có thể xảy ra theo hai trường hợp: 1. Một thẻ đánh số chẵn và một thẻ đánh số lẻ (biến cố A) 2. Hai thẻ đều đánh số chẵn (biến cố B) Do đó, biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). Bước 4: Xác định số cách rút 2 thẻ sao cho cả hai số đều là số chẵn - Số thẻ chẵn là 10 (từ 2, 4, 6, ..., 20) - Số cách rút 2 thẻ chẵn từ 10 thẻ chẵn là: \[ C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \] Bước 5: Xác định số cách rút 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ - Số cách rút 1 thẻ chẵn từ 10 thẻ chẵn là 10 - Số cách rút 1 thẻ lẻ từ 10 thẻ lẻ là 10 - Số cách rút 1 thẻ chẵn và 1 thẻ lẻ là: \[ 10 \times 10 = 100 \] Bước 6: Xác định xác suất của biến cố A và B - Xác suất của biến cố A (rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ): \[ P(A) = \frac{100}{190} = \frac{10}{19} \] - Xác suất của biến cố B (rút được hai thẻ đều chẵn): \[ P(B) = \frac{45}{190} = \frac{9}{38} \] Bước 7: Kiểm tra các phát biểu a) Xác suất để rút được 2 thẻ sao cho tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn là: \[ \frac{29}{38} \neq \frac{425}{447} \] Phát biểu này sai. b) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). Phát biểu này đúng. c) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \) Phát biểu này sai vì \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \) và ở đây \( P(A \cap B) = 0 \). d) \( P(A) > P(B) \) Phát biểu này đúng vì \( \frac{10}{19} > \frac{9}{38} \). Kết luận Các phát biểu đúng là: - b) Biến cố "Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số chẵn" là \( A \cup B \). - d) \( P(A) > P(B) \). Câu 2. Để giải quyết các câu hỏi về vận tốc và gia tốc của vật chuyển động theo công thức \( s(t) = t^3 + 3t^2 - 7t - 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t \) Vận tốc \( v(t) \) của vật tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 - 7t - 2) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ v(t) = 3t^2 + 6t - 7 \] b) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Thay \( t = 2 \) vào biểu thức vận tốc: \[ v(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 7 = 3 \cdot 4 + 12 - 7 = 12 + 12 - 7 = 17 \text{ (m/s)} \] c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 38 m/s Gia tốc \( a(t) \) của vật tại thời điểm \( t \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + 6t - 7) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ a(t) = 6t + 6 \] Bây giờ, ta cần tìm thời điểm \( t \) mà vận tốc \( v(t) = 38 \text{ m/s} \): \[ 3t^2 + 6t - 7 = 38 \] Rearrange the equation: \[ 3t^2 + 6t - 45 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ t^2 + 2t - 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng phương pháp phân tích: \[ (t + 5)(t - 3) = 0 \] Vậy \( t = -5 \) hoặc \( t = 3 \). Vì \( t > 0 \), ta chọn \( t = 3 \). Thay \( t = 3 \) vào biểu thức gia tốc: \[ a(3) = 6(3) + 6 = 18 + 6 = 24 \text{ (m/s}^2\text{)} \] d) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) Thay \( t = 2 \) vào biểu thức gia tốc: \[ a(2) = 6(2) + 6 = 12 + 6 = 18 \text{ (m/s}^2\text{)} \] Đáp số: a) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t \) là \( v(t) = 3t^2 + 6t - 7 \). b) Vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 17 \text{ m/s} \). c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 38 m/s là \( 24 \text{ m/s}^2 \). d) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 18 \text{ m/s}^2 \). Câu 1. Để tính giá trị của hàm số \( y = f(x) = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{6} + x \right) \) tại điểm \( x = \frac{\pi}{6} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay \( x = \frac{\pi}{6} \) vào biểu thức của hàm số: \[ f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos \left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) \] Bước 2: Tính tổng trong dấu cos: \[ \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} = \pi \] Bước 3: Thay kết quả vừa tính vào biểu thức: \[ f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cos (\pi) \] Bước 4: Biết rằng \( \cos (\pi) = -1 \): \[ f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \times (-1) = -2 \] Vậy giá trị của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = \frac{\pi}{6} \) là: \[ f\left( \frac{\pi}{6} \right) = -2 \] Câu 2. Để tính độ mở của màn hình máy tính, ta cần tìm số đo của góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa các tam giác \(ABC\) và \(ACD\). Bước 1: Xác định tam giác \(ABC\) là tam giác đều vì \(AB = AC = BC = 30 \text{ cm}\). Bước 2: Xác định tam giác \(ACD\) cũng là tam giác đều vì \(AC = AD = CD = 30 \text{ cm}\). Bước 3: Xác định góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa các tam giác \(ABC\) và \(ACD\). Góc nhị diện này chính là góc giữa hai đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\) và \(CD\) tương ứng. Bước 4: Xác định tam giác \(ABC\) và \(ACD\) đều là tam giác đều, do đó góc giữa hai đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống đáy \(BC\) và \(CD\) sẽ là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với đáy \(BC\) và \(CD\) tương ứng. Bước 5: Xác định góc giữa hai đường thẳng vuông góc với đáy \(BC\) và \(CD\) tương ứng là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với đáy \(BC\) và \(CD\) tương ứng. Vì tam giác đều, góc giữa hai đường thẳng vuông góc với đáy \(BC\) và \(CD\) tương ứng là \(60^\circ\). Vậy, độ mở của màn hình máy tính là \(60^\circ\). Đáp số: \(60^\circ\). Câu 3. Để giải bất phương trình $3^{4-3x} \geq \frac{1}{27}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại bất phương trình: \[ 3^{4-3x} \geq \frac{1}{27} \] 2. Biểu diễn $\frac{1}{27}$ dưới dạng lũy thừa cơ sở 3: \[ \frac{1}{27} = 3^{-3} \] Vậy bất phương trình trở thành: \[ 3^{4-3x} \geq 3^{-3} \] 3. So sánh các lũy thừa cùng cơ sở: Vì cơ sở là 3 (một số lớn hơn 1), nên ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ 4 - 3x \geq -3 \] 4. Giải bất phương trình tuyến tính: \[ 4 - 3x \geq -3 \] Chuyển 4 sang phía bên phải: \[ -3x \geq -3 - 4 \] \[ -3x \geq -7 \] Chia cả hai vế cho -3 (nhớ đổi dấu bất đẳng thức): \[ x \leq \frac{7}{3} \] 5. Tập nghiệm của bất phương trình: \[ S = \left(-\infty; \frac{7}{3}\right] \] Như vậy, giá trị của \(a\) là \(\frac{7}{3}\). Đáp số: \(a = \frac{7}{3}\). Câu 4. Tổng số cách chọn 4 bông hoa từ 15 bông hoa là: \[ C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365 \] Số cách chọn 4 bông hoa cùng loại: - Chọn 4 bông hoa hồng: \( C_4^4 = 1 \) - Chọn 4 bông hoa lan: \( C_5^4 = 5 \) - Chọn 4 bông hoa ly: \( C_6^4 = 15 \) Tổng số cách chọn 4 bông hoa cùng loại là: \[ 1 + 5 + 15 = 21 \] Xác suất để 4 bông hoa được chọn cùng loại là: \[ P = \frac{21}{1365} \approx 0,0154 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ P \approx 0,02 \] Đáp số: 0,02 Câu 1: Để tính xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn, ta có thể tính xác suất để cả hai cầu thủ đều không làm bàn và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất đó. Gọi \( A \) là sự kiện "cầu thủ thứ nhất làm bàn", \( B \) là sự kiện "cầu thủ thứ hai làm bàn". Xác suất của sự kiện \( A \) là \( P(A) = 0,9 \). Xác suất của sự kiện \( B \) là \( P(B) = 0,5 \). Xác suất của sự kiện \( \bar{A} \) (cầu thủ thứ nhất không làm bàn) là: \[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,9 = 0,1 \] Xác suất của sự kiện \( \bar{B} \) (cầu thủ thứ hai không làm bàn) là: \[ P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,5 = 0,5 \] Xác suất để cả hai cầu thủ đều không làm bàn là: \[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0,1 \times 0,5 = 0,05 \] Xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn là: \[ P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,05 = 0,95 \] Vậy xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn là \( 0,95 \). Câu 2: Để viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^3$ tại điểm có tung độ bằng 27, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm trên đường cong: - Ta có $y = 27$. Thay vào phương trình $y = x^3$, ta có: \[ x^3 = 27 \implies x = 3 \] - Vậy điểm cần tìm là $(3, 27)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: - Đạo hàm của $y = x^3$ là: \[ y' = 3x^2 \] 3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $(3, 27)$: - Thay $x = 3$ vào đạo hàm: \[ y'(3) = 3(3)^2 = 3 \cdot 9 = 27 \] - Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(3, 27)$ là 27. 4. Viết phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $(x_0, y_0) = (3, 27)$ và $k = 27$ vào phương trình trên: \[ y - 27 = 27(x - 3) \] - Rút gọn phương trình: \[ y - 27 = 27x - 81 \implies y = 27x - 54 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^3$ tại điểm có tung độ bằng 27 là: \[ y = 27x - 54 \] Câu 3: a) Ta tính thể tích của miếng pho mát: \[ V = S_{đáy} \times h \] Diện tích đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 6 cm: \[ S_{đáy} = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \text{ cm}^2 \] Chiều cao của khối lăng trụ đứng là 15 cm: \[ V = 18 \times 15 = 270 \text{ cm}^3 \] Khối lượng của miếng pho mát: \[ m = V \times \rho = 270 \times 3 = 810 \text{ g} \] b) Ta tính diện tích một mặt của hình tử diện đều. Biết rằng đường cao của hình tử diện đều là $h = 2\sqrt{6}$ cm. Trước tiên, ta tính độ dài cạnh của hình tử diện đều. Gọi độ dài cạnh là $a$. Đường cao của tam giác đều (cạnh là $a$) là: \[ h_{tam giác} = \frac{\sqrt{3}}{2}a \] Trong tam giác vuông có đường cao từ đỉnh xuống đáy là $h$, ta có: \[ h^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 \] \[ (2\sqrt{6})^2 + \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 \] \[ 24 + \frac{a^2}{9} = \frac{3a^2}{4} \] \[ 24 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{9} \] \[ 24 = \frac{27a^2 - 4a^2}{36} \] \[ 24 = \frac{23a^2}{36} \] \[ 24 \times 36 = 23a^2 \] \[ 864 = 23a^2 \] \[ a^2 = \frac{864}{23} \] \[ a = \sqrt{\frac{864}{23}} \approx 6.36 \text{ cm} \] Diện tích một mặt của hình tử diện đều: \[ S_{tam giác} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \] \[ S_{tam giác} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{864}{23}\right) \approx 17.32 \text{ cm}^2 \] Diện tích giấy bạn Trang sử dụng: \[ S_{tổng} = 4 \times S_{tam giác} \approx 4 \times 17.32 = 69.28 \text{ cm}^2 \] Đáp số: a) Khối lượng của miếng pho mát: 810 g b) Diện tích giấy bạn Trang sử dụng: 69.28 cm²