Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D.
a. Chứng minh rằng: tứ giác ACMO nội tiếp.
b. Gọi P là giao điểm CD và AB. Chứng minh: PA.PO = PC.PM
c. Gọi E là giao điểm của AM và BD; F là giao điểm của AC và BM. Chứng minh: E; F; P thẳng hàng.

Question

Timi · Accepted Answer

a. Ta có góc ACM = 90° (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) và góc AMO = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Do đó, tứ giác ACMO nội tiếp (vì tổng hai góc đối bằng 180°).

b. Ta có góc ACM = 90° và góc AMO = 90°. Do đó, tam giác ACM và tam giác AMO vuông tại C và O tương ứng. 
Ta có góc PAC = góc MAC (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và dây cung) và góc PAC chung. Do đó, tam giác PAC và tam giác MAC đồng dạng (góc-góc). 
Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{PA}{PC} = \frac{PO}{PM}$. 
Nhân cả hai vế với PC và PM ta được: PA.PO = PC.PM.

c. Ta có góc AEB = góc AMB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB) và góc AMB = góc ACM (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). 
Do đó, góc AEB = góc ACM. 
Ta cũng có góc AEB + góc AFB = 180° (góc trong cùng phía). 
Vậy góc ACM + góc AFB = 180°. 
Do đó, E, F, P thẳng hàng (góc trong cùng phía bằng 180°).

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M nằm trên nửa đường tròn (M ≠ A; B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) lần lượt tại C và D. a. Chứng minh rằng: tứ giác ACMO nội...