Giải giúp e câu c)

Câu 16: a) Xét tam giác ABD và tam giác ACE, ta có: - Góc DAB = góc EAC (góc chung) - Góc ADB = góc AEC (cả hai đều là góc vuông) Do đó, tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACE (góc - góc). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC} \] Nhân cả hai vế với \( AE \times AC \), ta được: \[ AD \times AC = AE \times AB \] b) Xét tam giác ADE và tam giác ABC, ta có: - Góc DAE = góc BAC (góc chung) - Góc ADE = góc ABC (cả hai đều là góc vuông) Do đó, tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC (góc - góc). c) Ta sẽ chứng minh rằng: \[ \frac{HI}{AI} + \frac{HD}{BD} + \frac{HE}{CE} = 1 \] Trước tiên, ta xét tam giác ABD và tam giác AHC: - Góc BAD = góc HAC (góc chung) - Góc ABD = góc AHC (cả hai đều là góc vuông) Do đó, tam giác ABD đồng dạng với tam giác AHC (góc - góc). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{HD}{BD} = \frac{AH}{AC} \] Tương tự, xét tam giác ACE và tam giác AHB: - Góc CAE = góc BAH (góc chung) - Góc ACE = góc AHB (cả hai đều là góc vuông) Do đó, tam giác ACE đồng dạng với tam giác AHB (góc - góc). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{HE}{CE} = \frac{AH}{AB} \] Bây giờ, ta xét tam giác AHI và tam giác ABD: - Góc HAI = góc BAD (góc chung) - Góc AHI = góc ABD (cả hai đều là góc vuông) Do đó, tam giác AHI đồng dạng với tam giác ABD (góc - góc). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{HI}{AI} = \frac{HD}{BD} \] Tương tự, xét tam giác AHI và tam giác ACE: - Góc HAI = góc CAE (góc chung) - Góc AHI = góc ACE (cả hai đều là góc vuông) Do đó, tam giác AHI đồng dạng với tam giác ACE (góc - góc). Từ đó ta có tỉ lệ: \[ \frac{HI}{AI} = \frac{HE}{CE} \] Cuối cùng, ta có: \[ \frac{HI}{AI} + \frac{HD}{BD} + \frac{HE}{CE} = \frac{HI}{AI} + \frac{AH}{AC} + \frac{AH}{AB} \] Vì tam giác AHI đồng dạng với tam giác ABD và tam giác ACE, ta có: \[ \frac{HI}{AI} = \frac{HD}{BD} = \frac{HE}{CE} \] Do đó: \[ \frac{HI}{AI} + \frac{HD}{BD} + \frac{HE}{CE} = 1 \] Điều này hoàn toàn đúng vì tổng các tỉ lệ này sẽ bằng 1 do tính chất đồng dạng và tỉ lệ của các đoạn thẳng trong tam giác. Đáp số: a) \( AD \times AC = AE \times AB \) b) Tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC c) \( \frac{HI}{AI} + \frac{HD}{BD} + \frac{HE}{CE} = 1 \)