Nhanhhhhhhhhhhhhhh

Câu 1: a) Để kiểm tra xem đường thẳng $\Delta$ có đi qua điểm $M(2; -1; 0)$ hay không, ta thay tọa độ của M vào phương trình tham số của $\Delta$: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = -t \\ z = -1 + t \end{array} \right. \] Thay $x = 2$, $y = -1$, $z = 0$ vào phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2 = 1 + t \\ -1 = -t \\ 0 = -1 + t \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: \[ \left\{ \begin{array}{l} t = 1 \\ t = 1 \\ t = 1 \end{array} \right. \] Vì cả ba phương trình đều cho cùng một giá trị $t = 1$, nên điểm $M(2; -1; 0)$ nằm trên đường thẳng $\Delta$. Vậy đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2; -1; 0)$. b) Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và trục Ox. Vector chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow{d} = (1, -1, 1)$. Vector chỉ phương của trục Ox là $\overrightarrow{i} = (1, 0, 0)$. Công thức tính cosin của góc giữa hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ \cos \alpha = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} \] Áp dụng công thức này: \[ \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{i} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 1 \] \[ |\overrightarrow{d}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \] \[ |\overrightarrow{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] c) Để tìm hình chiếu vuông góc của điểm $A(1; 3; -1)$ lên đường thẳng $\Delta$, ta cần tìm điểm $H(a; b; c)$ sao cho đoạn thẳng $AH$ vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Vector $\overrightarrow{AH}$ là: \[ \overrightarrow{AH} = (a - 1, b - 3, c + 1) \] Điều kiện để $AH$ vuông góc với $\Delta$ là: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{d} = 0 \] \[ (a - 1) \cdot 1 + (b - 3) \cdot (-1) + (c + 1) \cdot 1 = 0 \] \[ a - 1 - b + 3 + c + 1 = 0 \] \[ a - b + c + 3 = 0 \] Ta cũng biết rằng điểm $H$ nằm trên đường thẳng $\Delta$, nên có dạng $(1 + t, -t, -1 + t)$. Thay vào phương trình trên: \[ (1 + t) - (-t) + (-1 + t) + 3 = 0 \] \[ 1 + t + t - 1 + t + 3 = 0 \] \[ 3t + 3 = 0 \] \[ t = -1 \] Thay $t = -1$ vào phương trình tham số của $\Delta$: \[ H(1 + (-1), -(-1), -1 + (-1)) = H(0, 1, -2) \] Tính $a + b + c$: \[ a + b + c = 0 + 1 - 2 = -1 \] d) Để tìm đường thẳng đi qua điểm $A(1; 3; -1)$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta$, ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng cần tìm. Vector chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{d} = (1, -1, 1)$. Đường thẳng cần tìm có vector chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (a, b, c)$. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc là: \[ \overrightarrow{d} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \] \[ 1 \cdot a + (-1) \cdot b + 1 \cdot c = 0 \] \[ a - b + c = 0 \] Đường thẳng cần tìm đi qua điểm $A(1; 3; -1)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{u} = (a, b, c)$ thỏa mãn $a - b + c = 0$. Phương trình tham số của đường thẳng cần tìm là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at \\ y = 3 + bt \\ z = -1 + ct \end{array} \right. \] Để đảm bảo đường thẳng này cắt đường thẳng $\Delta$, ta cần tìm điểm chung của hai đường thẳng. Thay phương trình tham số của đường thẳng cần tìm vào phương trình tham số của $\Delta$ và giải hệ phương trình để tìm giá trị của $t$ và $s$. Cuối cùng, ta sẽ có phương trình của đường thẳng cần tìm. Câu 2: a) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2.$ Điều kiện xác định: $x \neq 2$. Do đó, đồ thị (C) có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. b) Đồ thị (C) có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=x-1$ Ta thực hiện phép chia: \[ \frac{x^2 - x + 2}{x - 2} = x + 1 + \frac{4}{x - 2} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{4}{x - 2} \to 0$. Vậy tiệm cận xiên là $y = x + 1$. c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$ Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x + 2)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)^2} = \frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^2} = 1 \] Do đó, $f'(x) > 0$ trên khoảng $(-1;1)$, vậy hàm số đồng biến trên khoảng này. d) Đồ thị (C) cắt đường thẳng $y = -1$ tại hai điểm Ta giải phương trình: \[ \frac{x^2 - x + 2}{x - 2} = -1 \] \[ x^2 - x + 2 = -x + 2 \] \[ x^2 = 0 \] \[ x = 0 \] Phương trình có nghiệm kép $x = 0$, do đó đồ thị (C) cắt đường thẳng $y = -1$ tại một điểm duy nhất $(0, -1)$. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 3: a) Số lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ là: \[ \frac{2,6 - 2}{0,2} = 3 \text{ lần} \] Vậy có 3 phòng bị bỏ trống. b) Doanh thu của công ty trong tháng đó là: \[ 34 \times 1000 = 34000 \text{ nghìn đồng} \] c) Nếu công ty cho thuê mỗi căn hộ với giá tăng thêm là $200x$ (x ∈ ℕ) thì doanh thu được tính theo công thức: \[ T(x) = (20 - x)(2000 + 200x) \text{ (nghìn đồng)} \] d) Ta có: \[ T(x) = (20 - x)(2000 + 200x) \] \[ = 40000 + 4000x - 2000x - 200x^2 \] \[ = -200x^2 + 2000x + 40000 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( T(x) \), ta sử dụng đạo hàm: \[ T'(x) = -400x + 2000 \] Đặt \( T'(x) = 0 \): \[ -400x + 2000 = 0 \] \[ 400x = 2000 \] \[ x = 5 \] Ta kiểm tra \( T''(x) \): \[ T''(x) = -400 \] Vì \( T''(x) < 0 \), nên \( T(x) \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x = 5 \). Giá cho thuê mỗi căn hộ khi đó là: \[ 2 + 0,2 \times 5 = 2,8 \text{ triệu đồng} \] Vậy công ty khi cho thuê mỗi căn hộ với giá 2,8 triệu đồng tổng số tiền thu được là lớn nhất. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất toàn bộ và xác suất có điều kiện. Gọi: - \( A \) là sự kiện hàng hóa đã thanh toán. - \( B \) là sự kiện hàng hóa chưa thanh toán. - \( C \) là sự kiện thiết bị phát chuông cảnh báo. Biết rằng: - \( P(B) = 0,001 \) (tỷ lệ hàng hóa qua cửa chưa thanh toán) - \( P(A) = 1 - P(B) = 0,999 \) (tỷ lệ hàng hóa qua cửa đã thanh toán) - \( P(C|B) = 0,99 \) (xác suất thiết bị phát chuông cảnh báo khi hàng hóa chưa thanh toán) - \( P(C|A) = 0,001 \) (xác suất thiết bị phát chuông cảnh báo khi hàng hóa đã thanh toán) a) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là 99,9%. Đây là xác suất ban đầu của \( A \): \[ P(A) = 0,999 \] b) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là 1%. Xác suất này là: \[ P(B \cap C) = P(B) \times P(C|B) = 0,001 \times 0,99 = 0,00099 \] c) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là 0,1%. Xác suất này là: \[ P(A \cap C) = P(A) \times P(C|A) = 0,999 \times 0,001 = 0,000999 \] d) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là 0,001%. Xác suất này là: \[ P(B \cap C^c) = P(B) \times (1 - P(C|B)) = 0,001 \times (1 - 0,99) = 0,001 \times 0,01 = 0,00001 \] Đáp số: a) \( P(A) = 0,999 \) b) \( P(B \cap C) = 0,00099 \) c) \( P(A \cap C) = 0,000999 \) d) \( P(B \cap C^c) = 0,00001 \)