Giuo mik vs

Câu 2. a) O.ABC là hình chóp đều. - Đúng vì OA = OB = OC = a và tam giác ABC là tam giác đều (do AB = BC = CA = a√2). b) Tam giác ABC có diện tích $S=\frac{a^3\sqrt3}2.$ - Sai vì diện tích tam giác đều cạnh a√2 là $\frac{(a\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}$. c) Tam giác ABC có chu vi $2p=\frac{3a\sqrt2}2.$ - Sai vì chu vi tam giác đều cạnh a√2 là $3 \times a\sqrt{2} = 3a\sqrt{2}$. d) Ba mặt phẳng $(OAB),(OBC),(OCA)$ vuông góc với nhau từng đôi một. - Đúng vì ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc nhau từng đôi một, do đó các mặt phẳng chứa chúng cũng vuông góc nhau từng đôi một. Câu 1: Tất nhiên, tôi sẽ tuân thủ các quy tắc trên để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11. Dưới đây là ví dụ về cách giải một bài toán theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một đa thức, do đó nó xác định với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Vậy ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = -1 \) và \( b = 4 \): \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Giá trị của biểu thức tại \( x = 2 \) là: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 3. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Phương trình có nghiệm dương nếu $m > 0$. - Xét phương trình $3^x = m + 1$. Để phương trình có nghiệm dương, tức là $x > 0$, thì $3^x > 1$. Điều này yêu cầu $m + 1 > 1$, suy ra $m > 0$. - Vậy mệnh đề này là đúng. b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$. - Xét phương trình $3^x = m + 1$. Để phương trình có nghiệm, $m + 1$ phải lớn hơn 0 vì $3^x$ luôn dương và không thể bằng hoặc nhỏ hơn 0. - Do đó, phương trình chỉ có nghiệm khi $m + 1 > 0$, tức là $m > -1$. - Vậy mệnh đề này là sai. c) Phương trình luôn có nghiệm duy nhất $x = \log_3(m + 1)$. - Xét phương trình $3^x = m + 1$. Nếu $m + 1 > 0$, phương trình có nghiệm duy nhất là $x = \log_3(m + 1)$. - Tuy nhiên, phương trình chỉ có nghiệm duy nhất khi $m > -1$. - Vậy mệnh đề này là sai. d) Phương trình có nghiệm với $m \geq -1$. - Xét phương trình $3^x = m + 1$. Để phương trình có nghiệm, $m + 1$ phải lớn hơn 0, tức là $m > -1$. - Do đó, phương trình có nghiệm khi $m > -1$, không phải $m \geq -1$. - Vậy mệnh đề này là sai. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b), c), và d) là sai. Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta cần tìm vận tốc và gia tốc của chuyển động từ phương trình chuyển động \( S(t) = t^3 - 3t^2 - 9t + 2 \). 1. Tìm vận tốc \( v(t) \): Vận tốc là đạo hàm của phương trình chuyển động theo thời gian \( t \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 6t - 9 \] 2. Tìm gia tốc \( a(t) \): Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian \( t \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6 \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: Mệnh đề a) Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi \( t = 0s \) hoặc \( t = 2s \). Ta giải phương trình \( v(t) = 0 \): \[ 3t^2 - 6t - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (t - 3)(t + 1) = 0 \] Do đó, nghiệm của phương trình là: \[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \] Như vậy, vận tốc bằng 0 khi \( t = 3s \) hoặc \( t = -1s \). Mệnh đề a) là sai. Mệnh đề b) Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3s \) là \( 12~m/s^2 \). Ta thay \( t = 3 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12~m/s^2 \] Như vậy, mệnh đề b) là đúng. Mệnh đề c) Gia tốc của chuyển động bằng \( 0~m/s^2 \) khi \( t = 0s \). Ta thay \( t = 0 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6~m/s^2 \] Như vậy, gia tốc không bằng 0 khi \( t = 0s \). Mệnh đề c) là sai. Mệnh đề d) Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 2s \) là \( 18~m/s \). Ta thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 9 = 3 \cdot 4 - 12 - 9 = 12 - 12 - 9 = -9~m/s \] Như vậy, vận tốc không bằng 18 m/s khi \( t = 2s \). Mệnh đề d) là sai. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là sai. Câu 1. Để thí sinh được trên 5 điểm, số câu trả lời đúng phải lớn hơn 7 câu (vì 7 câu đúng được 7 điểm, 3 câu sai bị trừ 1,5 điểm, tổng là 5,5 điểm). Do đó, thí sinh phải trả lời đúng ít nhất 8 câu. Xác suất để thí sinh trả lời đúng một câu là $\frac{1}{4}$, và xác suất để thí sinh trả lời sai một câu là $\frac{3}{4}$. Ta sẽ tính xác suất để thí sinh trả lời đúng 8, 9 hoặc 10 câu. 1. Xác suất để thí sinh trả lời đúng 8 câu: \[ P(8) = \binom{10}{8} \left(\frac{1}{4}\right)^8 \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{45}{1048576} \] 2. Xác suất để thí sinh trả lời đúng 9 câu: \[ P(9) = \binom{10}{9} \left(\frac{1}{4}\right)^9 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = \frac{30}{1048576} \] 3. Xác suất để thí sinh trả lời đúng 10 câu: \[ P(10) = \binom{10}{10} \left(\frac{1}{4}\right)^{10} \left(\frac{3}{4}\right)^0 = \frac{1}{1048576} \] Tổng xác suất để thí sinh được trên 5 điểm: \[ P = P(8) + P(9) + P(10) = \frac{45}{1048576} + \frac{30}{1048576} + \frac{1}{1048576} = \frac{76}{1048576} = \frac{19}{262144} \] Đáp số: $\frac{19}{262144}$ Câu 2. Để tính góc phẳng nhị diện [B,SA,C], ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAC) có SC là đường cao hạ từ S xuống đáy ABCD, do đó SC ⊥ (ABCD). - Mặt phẳng (SAB) cũng có SA là đường chéo của đáy hình vuông ABCD. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của (SAC) và (SAB) là SA. 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) là góc giữa hai đường thẳng AC và AB trong mặt phẳng (ABCD). 4. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và AB: - Vì ABCD là hình vuông nên góc giữa AC và AB là 45°. Do đó, góc phẳng nhị diện [B,SA,C] là 45°. Đáp số: 45° Câu 3. Để tính khoảng cách từ S đến đường thẳng DM, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm: - Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a, ta có thể đặt S(0, 0, 2a). - Hình vuông ABCD có tâm O, do đó O(a/2, a/2, 0). - M là trung điểm của OC, nên M có tọa độ là trung điểm của O và C. - Điểm C có tọa độ (a, a, 0). - Do đó, M có tọa độ là: \[ M = \left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{a + \frac{a}{2}}{2}, 0\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}, 0\right) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SDM): - Vectơ SD = (a, a, -2a). - Vectơ DM = \(\left(\frac{3a}{4} - a, \frac{3a}{4} - a, 0\right) = \left(-\frac{a}{4}, -\frac{a}{4}, 0\right)\). - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SDM) là: \[ \vec{n} = \vec{SD} \times \vec{DM} \] Ta tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & a & -2a \\ -\frac{a}{4} & -\frac{a}{4} & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}\left(a \cdot 0 - (-2a) \cdot \left(-\frac{a}{4}\right)\right) - \vec{j}\left(a \cdot 0 - (-2a) \cdot \left(-\frac{a}{4}\right)\right) + \vec{k}\left(a \cdot \left(-\frac{a}{4}\right) - a \cdot \left(-\frac{a}{4}\right)\right) \] \[ = \vec{i}\left(0 - \frac{2a^2}{4}\right) - \vec{j}\left(0 - \frac{2a^2}{4}\right) + \vec{k}\left(-\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}\right) \] \[ = \vec{i}\left(-\frac{a^2}{2}\right) - \vec{j}\left(-\frac{a^2}{2}\right) + \vec{k}(0) \] \[ = -\frac{a^2}{2}\vec{i} + \frac{a^2}{2}\vec{j} \] \[ = \left(-\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, 0\right) \] 3. Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng DM: - Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d(S, DM) = \frac{|\vec{SM} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} \] - Vectơ SM = \(\left(\frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}, -2a\right)\). - Tích vô hướng \(\vec{SM} \cdot \vec{n}\): \[ \vec{SM} \cdot \vec{n} = \left(\frac{3a}{4}, \frac{3a}{4}, -2a\right) \cdot \left(-\frac{a^2}{2}, \frac{a^2}{2}, 0\right) = \frac{3a}{4} \cdot \left(-\frac{a^2}{2}\right) + \frac{3a}{4} \cdot \frac{a^2}{2} + (-2a) \cdot 0 \] \[ = -\frac{3a^3}{8} + \frac{3a^3}{8} = 0 \] - Độ dài vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\): \[ |\vec{n}| = \sqrt{\left(-\frac{a^2}{2}\right)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{a^4}{4} + \frac{a^4}{4}} = \sqrt{\frac{a^4}{2}} = \frac{a^2}{\sqrt{2}} \] - Khoảng cách từ S đến đường thẳng DM: \[ d(S, DM) = \frac{|0|}{\frac{a^2}{\sqrt{2}}} = 0 \] Do đó, khoảng cách từ S đến đường thẳng DM là 0. Câu 4. Để tìm số chữ số của số Fermat \( F_{13} = 2^{2^{13}} + 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính \( 2^{13} \) \[ 2^{13} = 8192 \] Bước 2: Tính \( 2^{8192} \) \[ F_{13} = 2^{8192} + 1 \] Bước 3: Tìm số chữ số của \( 2^{8192} \) Số chữ số của một số \( N \) được tính bằng công thức: \[ \text{số chữ số của } N = \lfloor \log_{10}(N) \rfloor + 1 \] Áp dụng cho \( 2^{8192} \): \[ \text{số chữ số của } 2^{8192} = \lfloor \log_{10}(2^{8192}) \rfloor + 1 \] \[ = \lfloor 8192 \cdot \log_{10}(2) \rfloor + 1 \] Biết rằng \( \log_{10}(2) \approx 0.3010 \): \[ = \lfloor 8192 \cdot 0.3010 \rfloor + 1 \] \[ = \lfloor 2465.792 \rfloor + 1 \] \[ = 2465 + 1 \] \[ = 2466 \] Bước 4: Tìm số chữ số của \( F_{13} = 2^{8192} + 1 \) Khi cộng thêm 1 vào \( 2^{8192} \), số chữ số không thay đổi vì \( 2^{8192} \) là một số rất lớn và thêm 1 vào nó không làm tăng số chữ số. Do đó, số chữ số của \( F_{13} \) vẫn là 2466. Kết luận: Số chữ số của \( F_{13} \) là 2466.