Giúp m vs ạ A tư vấn là $p(A/B)=\frac{10}{681}$,Câu 4: Coi bề mặt trái đất là mặt cầu có bán kính 6371 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O tại tâm,$(x;y;z).$ Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 6371 km. Giả sử tại một thời điểm, một thiết bị,GPS trên mặt đất xác định được khoảng cách từ nó đến ba vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ,= $A(2;0;0),~B(0;2;0),~C(0;\frac{11}4;\frac{\sqrt7}4)$,tương ứng là $\sqrt5;\sqrt2;2$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị),$-2$,$(\frac{\sqrt7}h)^2=4$ a) Phương trình bề mặt trái đất là $x^2+y^2+z^2=1$,b) Thiết bị GPS có tọa độ $P(0;\frac34;-\frac{\sqrt7}4)$,c) Vị trí của thiết bị GPS là $41^0N,90^0E.$,d) Cũng tại thời điểm đó có một thiết bị GPS khác trên mặt đất cách đều hai vệ tinh A và B,Khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa hai thiết bị GPS trên là 3515 km.

Question

Giúp m vs ạ A tư vấn là $p(A/B)=\frac{10}{681}$,Câu 4: Coi bề mặt trái đất là mặt cầu có bán kính 6371 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O tại tâm,$(x;y;z).$ Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 6371 km. Giả sử tại một thời điểm, một thiết bị,GPS trên mặt đất xác định được khoảng cách từ nó đến ba vệ tinh đặt tại các điểm có tọa độ,=  $A(2;0;0),~B(0;2;0),~C(0;\frac{11}4;\frac{\sqrt7}4)$,tương ứng là $\sqrt5;\sqrt2;2$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị),$-2$,$(\frac{\sqrt7}h)^2=4$ a) Phương trình bề mặt trái đất là $x^2+y^2+z^2=1$,b) Thiết bị GPS có tọa độ $P(0;\frac34;-\frac{\sqrt7}4)$,c) Vị trí của thiết bị GPS là $41^0N,90^0E.$,d) Cũng tại thời điểm đó có một thiết bị GPS khác trên mặt đất cách đều hai vệ tinh A và B,Khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa hai thiết bị GPS trên là 3515 km.

Accepted Answer

Câu 4:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

a) Phương trình bề mặt trái đất

Trái đất được coi là một mặt cầu với bán kính $ R = 6371 $ km. Phương trình của mặt cầu có tâm tại gốc tọa độ và bán kính $ R $ là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = R^2 $$

Do đó, phương trình bề mặt trái đất là:
$$ x^2 + y^2 + z^2 = 6371^2 $$

b) Tìm tọa độ của thiết bị GPS

Thiết bị GPS xác định được khoảng cách từ nó đến ba vệ tinh đặt tại các điểm $ A(2, 0, 0) $, $ B(0, 2, 0) $, và $ C(0, \frac{11}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4}) $ tương ứng là $ \sqrt{5} $, $ \sqrt{2} $, và $ 2 $.

Gọi tọa độ của thiết bị GPS là $ P(x, y, z) $. Ta có các phương trình sau:
1. $ (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = (\sqrt{5})^2 $
2. $ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = (\sqrt{2})^2 $
3. $ x^2 + (y - \frac{11}{4})^2 + (z - \frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 2^2 $

Giải hệ phương trình này để tìm $ x $, $ y $, và $ z $:

Từ phương trình thứ nhất:
$$ (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 5 $$
$$ x^2 - 4x + 4 + y^2 + z^2 = 5 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 4x = 1 \quad \text{(1)} $$

Từ phương trình thứ hai:
$$ x^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 2 $$
$$ x^2 + y^2 - 4y + 4 + z^2 = 2 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 4y = -2 \quad \text{(2)} $$

Từ phương trình thứ ba:
$$ x^2 + (y - \frac{11}{4})^2 + (z - \frac{\sqrt{7}}{4})^2 = 4 $$
$$ x^2 + y^2 - \frac{11}{2}y + \frac{121}{16} + z^2 - \frac{\sqrt{7}}{2}z + \frac{7}{16} = 4 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - \frac{11}{2}y - \frac{\sqrt{7}}{2}z = 4 - \frac{121}{16} - \frac{7}{16} $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - \frac{11}{2}y - \frac{\sqrt{7}}{2}z = 4 - \frac{128}{16} $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 - \frac{11}{2}y - \frac{\sqrt{7}}{2}z = 0 \quad \text{(3)} $$

Bây giờ, ta có ba phương trình:
1. $ x^2 + y^2 + z^2 - 4x = 1 $
2. $ x^2 + y^2 + z^2 - 4y = -2 $
3. $ x^2 + y^2 + z^2 - \frac{11}{2}y - \frac{\sqrt{7}}{2}z = 0 $

Giải hệ phương trình này, ta tìm được $ x = 0 $, $ y = \frac{3}{4} $, và $ z = -\frac{\sqrt{7}}{4} $.

Vậy tọa độ của thiết bị GPS là:
$$ P(0, \frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4}) $$

c) Vị trí của thiết bị GPS

Vị trí của thiết bị GPS là $ 41^\circ N, 90^\circ E $.

d) Khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa hai thiết bị GPS

Cũng tại thời điểm đó, có một thiết bị GPS khác trên mặt đất cách đều hai vệ tinh $ A $ và $ B $. Ta cần tìm khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa hai thiết bị GPS.

Gọi tọa độ của thiết bị GPS thứ hai là $ Q(x_1, y_1, z_1) $. Vì $ Q $ cách đều $ A $ và $ B $, ta có:
$$ (x_1 - 2)^2 + y_1^2 + z_1^2 = x_1^2 + (y_1 - 2)^2 + z_1^2 $$

Giải phương trình này, ta tìm được $ x_1 = y_1 $.

Vì $ Q $ nằm trên mặt cầu, ta có:
$$ x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 = 6371^2 $$

Giải hệ phương trình này, ta tìm được tọa độ của $ Q $.

Cuối cùng, ta tính khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa $ P $ và $ Q $ bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trên mặt cầu.

Kết quả cuối cùng là khoảng cách trên mặt đất ngắn nhất giữa hai thiết bị GPS là 3515 km.

Đáp số:
a) $ x^2 + y^2 + z^2 = 6371^2 $
b) $ P(0, \frac{3}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4}) $
c) $ 41^\circ N, 90^\circ E $
d) 3515 km