: 2) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d):~y=3x-m-2$ và parabol $(P):~y=x\wedge2.$,tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ,x1,x2 TM đk $xl(xl-xlxl-5)=x2(x2-xlx2-5)$,b4 : Cho tam giác nhọn ABC (AB

Question

:>>>>>>>>>>> 2) trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d):~y=3x-m-2$ và parabol $(P):~y=x\wedge2.$,tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ,x1,x2 TM đk $xl(xl-xlxl-5)=x2(x2-xlx2-5)$,b4 : Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC), đường cao AH, nội tiếp đường tròn (O). Gọi D và E,lần lutowtj là chân đường vg góc kẻ từ H lên AB và AC.,a) Chứng minh các tứ giác ADHE nội tiếp được đường tròn.,b) cm : $AH\wedge2=AD.AB=AE.AC$,c) cm: OA vuông góc với DE,d) cm: diện tích tam giác ADE = diện tích tứ giác BCED khi $AH=R\surd2$

Accepted Answer

Câu 2: Cho đường thẳng $(d):~y=3x-m-2$ và parabol $(P):~y=x\wedge2.$ Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1(x_1-x_1x_2-5)=x_2(x_2-x_1x_2-5)$ Giải: Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt, ta thay phương trình của (d) vào phương trình của (P): $$ x^2 = 3x - m - 2 $$ $$ x^2 - 3x + m + 2 = 0 $$ Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm phân biệt là: $$ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 2) > 0 $$ $$ 9 - 4(m + 2) > 0 $$ $$ 9 - 4m - 8 > 0 $$ $$ 1 - 4m > 0 $$ $$ m < \frac{1}{4} $$ Theo bài ra, ta có: $$ x_1(x_1 - x_1x_2 - 5) = x_2(x_2 - x_1x_2 - 5) $$ Ta biến đổi: $$ x_1^2 - x_1^2x_2 - 5x_1 = x_2^2 - x_1x_2^2 - 5x_2 $$ $$ x_1^2 - x_2^2 - x_1^2x_2 + x_1x_2^2 - 5x_1 + 5x_2 = 0 $$ $$ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - x_1x_2(x_1 - x_2) - 5(x_1 - x_2) = 0 $$ $$ (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - x_1x_2 - 5) = 0 $$ Vì $x_1 \neq x_2$, nên: $$ x_1 + x_2 - x_1x_2 - 5 = 0 $$ Theo định lý Vi-et: $$ x_1 + x_2 = 3 $$ $$ x_1x_2 = m + 2 $$ Thay vào ta có: $$ 3 - (m + 2) - 5 = 0 $$ $$ 3 - m - 2 - 5 = 0 $$ $$ -m - 4 = 0 $$ $$ m = -4 $$ Vậy giá trị của m là $m = -4$. Câu 4: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), đường cao AH, nội tiếp đường tròn (O). Gọi D và E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H lên AB và AC. a) Chứng minh các tứ giác ADHE nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh: $AH^2 = AD \cdot AB = AE \cdot AC$ c) Chứng minh: OA vuông góc với DE d) Chứng minh: diện tích tam giác ADE = diện tích tứ giác BCED khi $AH = R\sqrt{2}$ Giải: a) Ta có $\angle ADH = \angle AEH = 90^\circ$. Do đó, tứ giác ADHE nội tiếp được đường tròn. b) Ta có: $$ \angle AHD = \angle AEB \quad (\text{góc đồng vị}) $$ $$ \angle HAD = \angle EAC \quad (\text{góc chung}) $$ Do đó, tam giác AHD và tam giác AEB đồng dạng theo tỉ lệ: $$ \frac{AH}{AD} = \frac{AB}{AE} $$ $$ AH \cdot AE = AD \cdot AB $$ Tương tự, ta có: $$ \angle AHE = \angle ADC \quad (\text{góc đồng vị}) $$ $$ \angle HAE = \angle DAC \quad (\text{góc chung}) $$ Do đó, tam giác AHE và tam giác ADC đồng dạng theo tỉ lệ: $$ \frac{AH}{AE} = \frac{AC}{AD} $$ $$ AH \cdot AD = AE \cdot AC $$ Vậy ta có: $$ AH^2 = AD \cdot AB = AE \cdot AC $$ c) Ta có: $$ \angle OAD = \angle OAE \quad (\text{góc giữa bán kính và dây cung}) $$ $$ \angle ODA = \angle OEA \quad (\text{góc giữa bán kính và dây cung}) $$ Do đó, tam giác OAD và tam giác OAE đồng dạng theo tỉ lệ: $$ \frac{OA}{OD} = \frac{OA}{OE} $$ $$ OD = OE $$ Vậy OA vuông góc với DE. d) Ta có: $$ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle DAE) $$ $$ S_{BCED} = S_{ABC} - S_{ADE} $$ Khi $AH = R\sqrt{2}$, ta có: $$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) $$ $$ S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle DAE) $$ Vì $AH = R\sqrt{2}$, ta có: $$ S_{BCED} = S_{ABC} - S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle BAC) - \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin(\angle DAE) $$ Vậy diện tích tam giác ADE bằng diện tích tứ giác BCED khi $AH = R\sqrt{2}$.