Giúp mình với! II. TỰ LUẬN (8 điểm):,Bài 1 (3 điểm): Cho hai đa thức,$A(x)=x^4+x^3-6x-3x^2-x^4+5$ $B(x)=x^3+5x^2-6x+3$,a) Thu gọn và sắp xếp đa thức A(x) theo lũy thừa giảm dần của biến.,b) Tìm đa thức M(x) sao cho $M(x)=A(x)+B(x)$,c) Kiểm tra xem $x=0;x=1;x=-1$ có là nghiệm của đa thức M(x) không?,d) Tìm nghiệm của đa thức N(x) biết $N(x)=A(x)-B(x).$,Bài 2 (1,5 điểm):,Bác An đã mua 5 chai dung dịch sát khuẩn và 3 hộp khẩu trang. Biết rằng giá của mỗi,chai dung dịch sát khuẩn là 80000 đồng, giá của mỗi hộp khẩu trang là x đồng.,a) Viết đa thức F (x) biểu thị tổng số tiền bác An phải thanh toán.,b) Tính giá tiền mỗi hộp khẩu trang biết bác An đã phải thanh toán 670000 đồng.,Bài 3 (3 điểm ): Cho $\Delta ABC$ nhọn có trung tuyến AD. Gọi M là điểm thuộc tia AD sao cho,D là trung điểm của AM.,a) Chứng minh $\Delta ADC=\Delta MDB.$ Từ đó suy ra $BM//AC.$,b) Gọi N là trung điểm của AC. Đường thẳng ND cắt MB tại K. Chứng minh D là trung,điểm của KN.,c) Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AK và AB. Chứng minh ba đường thẳng AD, CE,,NI đồng quy.,Bài 4 (0,5 điểm):,Cho biết $(x-1)f(x)=(x+4)f(x+8)$ với mọi x. Chứng minh rằng $f(x)$ có ít nhất hai,nghiệm.,---HẾT---

Question

Accepted Answer

Bài 1
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức $A(x)$ theo lũy thừa giảm dần của biến:
$$
A(x) = x^4 + x^3 - 6x - 3x^2 - x^4 + 5 = x^3 - 3x^2 - 6x + 5
$$

b) Tìm đa thức $M(x)$ sao cho $M(x) = A(x) + B(x)$:
$$
M(x) = (x^3 - 3x^2 - 6x + 5) + (x^3 + 5x^2 - 6x + 3)
$$
$$
M(x) = x^3 + x^3 - 3x^2 + 5x^2 - 6x - 6x + 5 + 3
$$
$$
M(x) = 2x^3 + 2x^2 - 12x + 8
$$

c) Kiểm tra xem $x = 0; x = 1; x = -1$ có là nghiệm của đa thức $M(x)$ không?
- Thay $x = 0$ vào $M(x)$:
$$
M(0) = 2(0)^3 + 2(0)^2 - 12(0) + 8 = 8 \neq 0
$$
Vậy $x = 0$ không là nghiệm của $M(x)$.

- Thay $x = 1$ vào $M(x)$:
$$
M(1) = 2(1)^3 + 2(1)^2 - 12(1) + 8 = 2 + 2 - 12 + 8 = 0
$$
Vậy $x = 1$ là nghiệm của $M(x)$.

- Thay $x = -1$ vào $M(x)$:
$$
M(-1) = 2(-1)^3 + 2(-1)^2 - 12(-1) + 8 = -2 + 2 + 12 + 8 = 20 \neq 0
$$
Vậy $x = -1$ không là nghiệm của $M(x)$.

d) Tìm nghiệm của đa thức $N(x)$ biết $N(x) = A(x) - B(x)$:
$$
N(x) = (x^3 - 3x^2 - 6x + 5) - (x^3 + 5x^2 - 6x + 3)
$$
$$
N(x) = x^3 - 3x^2 - 6x + 5 - x^3 - 5x^2 + 6x - 3
$$
$$
N(x) = -8x^2 + 2
$$

Để tìm nghiệm của $N(x)$, ta giải phương trình:
$$
-8x^2 + 2 = 0
$$
$$
-8x^2 = -2
$$
$$
x^2 = \frac{1}{4}
$$
$$
x = \pm \frac{1}{2}
$$

Vậy nghiệm của đa thức $N(x)$ là $x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = -\frac{1}{2}$.

Bài 2
a) Viết đa thức F(x) biểu thị tổng số tiền bác An phải thanh toán.

Giá của 5 chai dung dịch sát khuẩn là:
$$ 5 \times 80000 = 400000 \text{ đồng} $$

Giá của 3 hộp khẩu trang là:
$$ 3 \times x = 3x \text{ đồng} $$

Tổng số tiền bác An phải thanh toán là:
$$ F(x) = 400000 + 3x $$

b) Tính giá tiền mỗi hộp khẩu trang biết bác An đã phải thanh toán 670000 đồng.

Theo đề bài, tổng số tiền bác An phải thanh toán là 670000 đồng. Do đó, ta có phương trình:
$$ 400000 + 3x = 670000 $$

Giải phương trình này để tìm giá trị của $ x $:
$$ 3x = 670000 - 400000 $$
$$ 3x = 270000 $$
$$ x = \frac{270000}{3} $$
$$ x = 90000 $$

Vậy giá tiền mỗi hộp khẩu trang là 90000 đồng.

Đáp số:
a) $ F(x) = 400000 + 3x $
b) Giá tiền mỗi hộp khẩu trang là 90000 đồng.

Bài 3
a) Ta có D là trung điểm của AM nên MD = DA. 
Mặt khác, D cũng là trung điểm của BC nên BD = DC. 
Ta có góc ADC = góc MDB (đối đỉnh). 
Do đó, tam giác ADC = tam giác MDB (cạnh - góc - cạnh). 
Từ đó ta có góc DAC = góc MDB. 
Suy ra BM // AC (hai góc so le trong bằng nhau).

b) Ta có N là trung điểm của AC và D là trung điểm của BC. 
Do đó, ND là đường trung bình của tam giác ABC. 
Suy ra ND // AB. 
Mặt khác, ta đã chứng minh BM // AC ở phần a). 
Do đó, tứ giác BKND là hình bình hành (vì hai cặp cạnh đối song song). 
Suy ra D là trung điểm của KN (tính chất của hình bình hành).

c) Ta có I là trung điểm của AK và D là trung điểm của KN. 
Do đó, ID là đường trung bình của tam giác AKC. 
Suy ra ID // KC và ID = $\frac{1}{2}$KC. 
Mặt khác, ta có E là trung điểm của AB và D là trung điểm của BC. 
Do đó, ED là đường trung bình của tam giác ABC. 
Suy ra ED // AC và ED = $\frac{1}{2}$AC. 
Ta có ID // KC và ED // AC. 
Do đó, tam giác IDE và tam giác KCE có hai cặp cạnh tương ứng song song. 
Suy ra tam giác IDE = tam giác KCE (giao của hai đường thẳng song song). 
Suy ra góc IDE = góc KCE. 
Mặt khác, ta có góc IDE + góc ADE = 180° (hai góc kề bù). 
Suy ra góc KCE + góc ADE = 180°. 
Do đó, tam giác KCE và tam giác ADE có tổng hai góc bên trong bằng 180°. 
Suy ra tam giác KCE và tam giác ADE có giao điểm chung trên đường thẳng CE. 
Suy ra ba đường thẳng AD, CE, NI đồng quy (giao điểm chung của tam giác KCE và tam giác ADE).

Bài 4
Để chứng minh rằng $ f(x) $ có ít nhất hai nghiệm, ta sẽ sử dụng phương pháp thay giá trị vào phương trình đã cho và phân tích các trường hợp có thể xảy ra.

Bước 1: Thay $ x = -4 $ vào phương trình:
$$
(x-1)f(x) = (x+4)f(x+8)
$$
Khi $ x = -4 $:
$$
(-4-1)f(-4) = (-4+4)f(4) \implies -5f(-4) = 0 \implies f(-4) = 0
$$
Vậy $ f(-4) = 0 $.

Bước 2: Thay $ x = 1 $ vào phương trình:
$$
(x-1)f(x) = (x+4)f(x+8)
$$
Khi $ x = 1 $:
$$
(1-1)f(1) = (1+4)f(9) \implies 0 = 5f(9) \implies f(9) = 0
$$
Vậy $ f(9) = 0 $.

Bước 3: Kết luận:
Ta đã tìm thấy hai giá trị $ x = -4 $ và $ x = 9 $ sao cho $ f(-4) = 0 $ và $ f(9) = 0 $. Điều này chứng tỏ rằng $ f(x) $ có ít nhất hai nghiệm.

Vậy, $ f(x) $ có ít nhất hai nghiệm là $ x = -4 $ và $ x = 9 $.

Đáp số: $ f(x) $ có ít nhất hai nghiệm là $ x = -4 $ và $ x = 9 $.