Giúp mình với!

Câu 3. a) Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $$ là $$ Phương trình đường thẳng $$ là $$. Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng $$. Từ đây, ta thấy rằng véc tơ chỉ phương của đường thẳng $$ là $$. Tuy nhiên, véc tơ chỉ phương của đường thẳng cũng có thể là bội của véc tơ này, do đó $$ cũng là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $$. b) Điểm $$ thuộc đường thẳng $$. Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình đường thẳng $$: $$ Vậy điểm $$ thuộc đường thẳng $$. c) Đường thẳng đi qua điểm $$ và vuông góc với đường thẳng $$ có phương trình là $$. Đường thẳng $$ có véc tơ chỉ phương là $$. Đường thẳng vuông góc với $$ sẽ có véc tơ chỉ phương là $$ (vì tích vô hướng của hai véc tơ chỉ phương này bằng 0: $$). Phương trình đường thẳng đi qua điểm $$ và có véc tơ chỉ phương $$ là: $$ $$ $$ Tuy nhiên, phương trình đã cho là $$. Ta kiểm tra lại: $$ $$ Điểm $$ không thỏa mãn phương trình này vì: $$ Do đó, phương trình $$ không đúng. Phương trình đúng là $$. d) Đường tròn tâm $$ tiếp xúc với đường thẳng $$ có phương trình $$. Đường tròn tâm $$ tiếp xúc với đường thẳng $$, tức là khoảng cách từ tâm $$ đến đường thẳng $$ bằng bán kính của đường tròn. Khoảng cách từ điểm $$ đến đường thẳng $$ là: $$ Bán kính của đường tròn là $$, do đó phương trình đường tròn là: $$ Vậy phương trình đường tròn là $$. Câu 1: Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: $$ - Biểu thức bên phải phải không âm: $$ 2. Giải bất phương trình $$: Ta giải phương trình $$ để tìm các điểm cực trị: $$ Vì $$, nên phương trình $$ vô nghiệm. Do đó, $$ với mọi $$. Vậy điều kiện này luôn thỏa mãn. 3. Giải bất phương trình $$: $$ 4. Giải phương trình $$: Ta bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: $$ $$ $$ $$ 5. Giải phương trình bậc hai $$: Ta tính $$: $$ Các nghiệm của phương trình là: $$ $$ 6. Kiểm tra điều kiện $$: - $$ không thỏa mãn $$. - $$ không thỏa mãn $$. Vậy phương trình $$ không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện $$. Đáp số: Số nghiệm của phương trình là 0. Câu 2. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): $$ Ta thấy rằng $$ luôn dương vì nó là một tam thức bậc hai có hệ số $$ và biệt thức $$. Do đó, $$ luôn đúng. Điều kiện thứ hai là: $$ Bây giờ, ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn thức: $$ $$ Rearrange the equation to form a standard quadratic equation: $$ $$ Phương trình này có dạng $$, với $$, $$, và $$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ $$ $$ $$ $$ Do đó, ta có hai nghiệm: $$ $$ Kiểm tra lại điều kiện $$: - $$ thỏa mãn điều kiện $$. - $$ cũng thỏa mãn điều kiện $$. Vậy, các nghiệm của phương trình là $$ và $$. Tổng các nghiệm của phương trình là: $$ Đáp số: Tổng các nghiệm của phương trình là $$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc cơ bản về xác suất và tổ hợp. Bước 1: Xác định tổng số quả cầu trong hộp. - Số quả cầu đỏ: 3 quả. - Số quả cầu xanh: 4 quả. - Tổng số quả cầu: 3 + 4 = 7 quả. Bước 2: Xác định số cách lấy ra một quả cầu từ trong hộp. - Mỗi lần lấy ra một quả cầu, chúng ta có thể chọn bất kỳ quả cầu nào trong 7 quả cầu. Vậy, số cách lấy ra một quả cầu từ trong hộp là 7 cách. Đáp số: 7 cách. Câu 4: Để tìm số cách chọn đường đi từ địa điểm A đến địa điểm C, ta cần tính tổng số cách đi qua địa điểm B. 1. Từ địa điểm A đến địa điểm B có 4 con đường. 2. Từ địa điểm B đến địa điểm C có 5 con đường. Mỗi con đường từ A đến B có thể kết hợp với mỗi con đường từ B đến C. Do đó, số cách chọn đường đi từ A đến C là: Số cách chọn đường từ A đến B nhân với số cách chọn đường từ B đến C: $$ Vậy có tất cả 20 cách chọn đường đi từ địa điểm A đến địa điểm C, đi qua địa điểm B. Đáp số: 20 cách. Câu 5: Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $$, số hạng sẽ tương ứng với mỗi số mũ của $$ và $$ trong mỗi lần nhân. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn là: $$ Trong đó, $$ là hệ số nhị thức, $$ là lũy thừa của $$, và $$ là lũy thừa của $$. Biểu thức này cho thấy rằng mỗi số hạng trong khai triển sẽ có dạng $$ với $$ chạy từ 0 đến $$. Với $$, ta có: $$ Số hạng trong khai triển này sẽ là các số hạng tương ứng với mỗi giá trị của $$ từ 0 đến 2025. Do đó, tổng số số hạng trong khai triển là: $$ Vậy, trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $$ có 2026 số hạng. Câu 1: Phương trình $$ có dạng $$, trong đó $$, $$, và $$. Từ đó, ta xác định được: - Tâm của đường tròn là điểm $$, tức là $$. - Bán kính của đường tròn là $$, tức là 5. Vậy tâm của đường tròn là $$ và bán kính là 5. Câu 2: Để lập được các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số trong tập hợp $$, ta thực hiện như sau: - Chọn chữ số hàng nghìn: Có 6 lựa chọn (vì bất kỳ chữ số nào trong tập hợp đều có thể là chữ số hàng nghìn). - Chọn chữ số hàng trăm: Có 5 lựa chọn (vì đã chọn 1 chữ số cho hàng nghìn, còn lại 5 chữ số khác). - Chọn chữ số hàng chục: Có 4 lựa chọn (vì đã chọn 2 chữ số cho hàng nghìn và hàng trăm, còn lại 4 chữ số khác). - Chọn chữ số hàng đơn vị: Có 3 lựa chọn (vì đã chọn 3 chữ số cho hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục, còn lại 3 chữ số khác). Vậy tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: $$ Đáp số: 360 số tự nhiên Câu 3: Để tính xác suất của biến cố A: "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" khi gieo một đồng xu liên tiếp 3 lần, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định không gian mẫu Mỗi lần gieo đồng xu có hai kết quả có thể xảy ra: mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N). Khi gieo đồng xu liên tiếp 3 lần, tổng số kết quả có thể xảy ra là: $$ Không gian mẫu bao gồm các kết quả sau: $$ Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi Biến cố A: "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" bao gồm các kết quả sau: $$ Như vậy, có 3 kết quả thuận lợi. Bước 3: Tính xác suất Xác suất của biến cố A là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả trong không gian mẫu: $$ Kết luận Xác suất của biến cố A: "có đúng 2 lần xuất hiện mặt sấp" là: $$