Cho đường tròn tâm (O;R) với đường kính PQ. Gọi D là trung điểm của đoạn OQ. Từ D, kẻ dây cung AB của đường tròn (O) vuông góc với đường kính PQ. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ AP. Dây cung MQ cắt dây...

a) Chứng minh bốn điểm $$ cùng nằm trên một đường tròn:

*  Ta có $$ tại D. Suy ra $$.

*  Vì P, M thuộc đường tròn $$ đường kính $$ nên $$.

*  Xét tứ giác $$ có: $$.

*  Vậy tứ giác $$ nội tiếp đường tròn, hay bốn điểm D, I, M, P cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh $$ và tính góc $$:

*  Vì $$ tại D nên $$.

*  Xét đường tròn (O), xét cát tuyến QAB và dây QM, ta có: $$.

*  Mà $$ (chứng minh trên) nên $$ (điều phải chứng minh).

*  Góc $$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $$.

c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AP để tổng $$ đạt giá trị lớn nhất:

*  Gọi $$ là điểm đối xứng của A qua MB. Suy ra $$. Khi đó $$.

*  Để S lớn nhất thì $$ phải thẳng hàng, tức $$.

*  Vì $$, $$, suy ra $$, tức M là trung điểm của cung $$.

*  Khi đó $$ là đường trung trực của $$, nên $$.

*  Lại có: $$, suy ra $$.

*  Vậy M là giao điểm của đường tròn (O) với đường thẳng sao cho $$ thẳng hàng và $$ là điểm đối xứng của A qua $$.