Giải hộ mình câu này với các bạn 1. Tìm giá trị nguyên của n để phân số $A=\frac{6n-3}{3n+1}$ có giá trị nguyên.,2. Chứng minh phân số $\frac{n+1}{2n+3}$ tối giản.

Question

Accepted Answer

1. Để phân số $A=\frac{6n-3}{3n+1}$ có giá trị nguyên, ta cần tìm các giá trị nguyên của $n$ sao cho $3n + 1$ là ước của $6n - 3$. Ta sẽ xét các trường hợp sau:

- Nếu $3n + 1 = 1$, ta có $n = 0$. Thay vào $A$, ta được $A = \frac{6 \times 0 - 3}{3 \times 0 + 1} = -3$, là số nguyên.
- Nếu $3n + 1 = -1$, ta có $n = -\frac{2}{3}$, không phải số nguyên.
- Nếu $3n + 1 = 3$, ta có $n = \frac{2}{3}$, không phải số nguyên.
- Nếu $3n + 1 = -3$, ta có $n = -\frac{4}{3}$, không phải số nguyên.
- Nếu $3n + 1 = 9$, ta có $n = \frac{8}{3}$, không phải số nguyên.
- Nếu $3n + 1 = -9$, ta có $n = -\frac{10}{3}$, không phải số nguyên.

Vậy giá trị nguyên của $n$ để phân số $A$ có giá trị nguyên là $n = 0$.

2. Để chứng minh phân số $\frac{n+1}{2n+3}$ tối giản, ta cần chứng minh rằng tử số và mẫu số của phân số này không có ước chung nào khác 1.

Ta giả sử phân số $\frac{n+1}{2n+3}$ không tối giản, tức là tồn tại số tự nhiên $d > 1$ sao cho $d$ là ước chung của cả $n+1$ và $2n+3$. Điều này có nghĩa là $n+1 = dk$ và $2n+3 = dl$ với $k$ và $l$ là các số tự nhiên.

Từ $n+1 = dk$, ta có $n = dk - 1$. Thay vào $2n+3 = dl$, ta được:
$$2(dk - 1) + 3 = dl$$
$$2dk - 2 + 3 = dl$$
$$2dk + 1 = dl$$

Do đó, $dl - 2dk = 1$, hay $d(l - 2k) = 1$. Vì $d > 1$, nên $l - 2k$ phải bằng 1 hoặc -1. Tuy nhiên, điều này dẫn đến mâu thuẫn vì $d$ là số lớn hơn 1 và không thể chia hết cho 1.

Vậy giả sử ban đầu là sai, do đó phân số $\frac{n+1}{2n+3}$ tối giản.