giải chi tiết toán lớp 11

Câu 1: Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): $$ Bước 2: Giải phương trình: $$ Điều này có nghĩa là: $$ $$ $$ $$ Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định: $$ Do đó, $$ thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy phương trình $$ có nghiệm là $$. Đáp án đúng là: C. 13. Câu 2: Để giải phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Phương trình đã cho là phương trình mũ, không yêu cầu thêm bất kỳ điều kiện nào khác ngoài việc đảm bảo các biến trong mũ là số thực. 2. Phương pháp giải: - Ta sử dụng tính chất của hàm số mũ: Nếu $$, thì $$. 3. Áp dụng tính chất: - Từ phương trình $$, ta suy ra $$. 4. Giải phương trình: - $$ - Chuyển $$ sang vế phải: $$ - $$ - Chia cả hai vế cho 2: $$ 5. Kiểm tra lại: - Thay $$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: $$ $$ (đúng) Vậy nghiệm của phương trình là $$. Đáp án đúng là: $$ Câu 3: Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại 125 dưới dạng lũy thừa cơ sở 5: $$ Vậy bất phương trình trở thành: $$ 2. So sánh các lũy thừa cùng cơ sở: Vì cơ sở là 5 (số dương lớn hơn 1), nên ta có thể so sánh các mũ của chúng: $$ 3. Giải bất phương trình tuyến tính: $$ $$ $$ $$ 4. Kết luận tập nghiệm: Tập nghiệm của bất phương trình là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 4: Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $$, ta cần $$. Do đó, $$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. - Điều này tương đương với $$ (vì $$). - Do đó, $$. - Suy ra $$. 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $$ và kết quả từ bất phương trình $$, ta có: $$ - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 5: Trong không gian, hai mặt phẳng cắt nhau tạo ra bốn góc nhị diện. Lập luận từng bước: - Khi hai mặt phẳng cắt nhau, chúng tạo ra một đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng. - Mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửa không gian. - Do đó, hai mặt phẳng sẽ chia không gian thành bốn phần, mỗi phần tương ứng với một góc nhị diện. Vậy đáp án đúng là D. 4. Đáp số: D. 4 Câu 6: Trong hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta xét các đường thẳng AA' và BC': - AA' là đường thẳng đứng từ đỉnh A xuống đáy A'. - BC' là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCC'B') và song song với mặt đáy (ABCD). Để tìm đường vuông góc chung của AA' và BC', ta cần tìm đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng này. Ta thấy: - AA' vuông góc với mặt đáy (ABCD), do đó AA' vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy này, bao gồm cả AB và AD. - BC' nằm trong mặt phẳng (BCC'B'), và song song với mặt đáy (ABCD). Do đó, BC' sẽ vuông góc với mọi đường thẳng đứng từ mặt đáy lên trên, bao gồm cả AA'. Trong các lựa chọn đã cho: - AC' không vuông góc với AA' vì AC' nằm trong mặt phẳng (ACC'A'). - AB không vuông góc với BC' vì AB nằm trong mặt đáy (ABCD) và BC' nằm trong mặt phẳng (BCC'B'). - A'B không vuông góc với AA' vì A'B nằm trong mặt phẳng (ABB'A'). - A'C' vuông góc với AA' vì A'C' nằm trong mặt phẳng (ACC'A') và AA' vuông góc với mặt phẳng này. Đồng thời, A'C' cũng vuông góc với BC' vì BC' nằm trong mặt phẳng (BCC'B') và A'C' vuông góc với mặt phẳng này. Do đó, đường vuông góc chung của AA' và BC' là A'C'. Đáp án đúng là: D. A'C' Câu 7: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định xem khẳng định nào là sai. A. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $$ - Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) chính là góc giữa SC và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABCD), tức là góc $$. Khẳng định này đúng. B. Hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau. - Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), nên mặt phẳng (SAB) cũng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Khẳng định này đúng. C. Hai đường thẳng SB và CD vuông góc với nhau. - Để hai đường thẳng SB và CD vuông góc với nhau, thì SB phải vuông góc với CD. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, chúng ta không thể kết luận rằng SB vuông góc với CD. Do đó, khẳng định này có thể là sai. D. Thể tích của hình chóp S.ABCD là $$. - Công thức tính thể tích của hình chóp là $$, trong đó $$ là diện tích đáy và $$ là chiều cao. Ở đây, $$ là diện tích đáy và SA là chiều cao. Khẳng định này đúng. Từ các phân tích trên, khẳng định sai là: C. Hai đường thẳng SB và CD vuông góc với nhau. Câu 8: Biến cố "A hoặc B xảy ra" được gọi là biến cố hợp của A và B. Lập luận từng bước: - Biến cố giao của A và B là biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra. - Biến cố đối của A là biến cố xảy ra khi A không xảy ra. - Biến cố đối của B là biến cố xảy ra khi B không xảy ra. - Biến cố hợp của A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. Do đó, đáp án đúng là C. Biến cố hợp của A và B. Câu 9: Biến cố "Cả A và B đều xảy ra" được gọi là biến cố giao của A và B. Lập luận từng bước: - Biến cố giao của A và B là biến cố xảy ra khi cả A và B đều xảy ra. - Biến cố đối của A là biến cố xảy ra khi A không xảy ra. - Biến cố hợp của A và B là biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. - Biến cố đối của B là biến cố xảy ra khi B không xảy ra. Do đó, đáp án đúng là: A. Biến cố giao của A và B. Câu 10: Câu hỏi: Cho hai biến cố A và B. Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố A và B được gọi là A. xung khắc với nhau. B. biến cố đối của nhau. C. độc lập với nhau. D. không giao với nhau. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để xác định hai biến cố A và B được gọi là gì khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia, chúng ta sẽ phân tích từng lựa chọn: A. Xung khắc với nhau: Hai biến cố xung khắc với nhau nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Điều này không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. B. Biến cố đối của nhau: Biến cố đối của nhau là hai biến cố trong đó một biến cố xảy ra thì biến cố kia không thể xảy ra và ngược lại. Điều này cũng không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. C. Độc lập với nhau: Hai biến cố độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Điều này hoàn toàn phù hợp với mô tả trong câu hỏi. D. Không giao với nhau: Hai biến cố không giao với nhau nếu chúng không có phần chung nào. Điều này không liên quan đến việc xác suất của một biến cố không bị ảnh hưởng bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố khác. Vì vậy, hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau. Đáp án: C. độc lập với nhau. Câu 11: Hai biến cố A và B không thể xảy ra đồng thời thì chúng được gọi là xung khắc với nhau. Lập luận từng bước: - Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra cùng một lúc. Nghĩa là, nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B không thể xảy ra và ngược lại. - Biến cố đối: Biến cố đối của biến cố A là biến cố bao gồm tất cả các kết quả của không gian mẫu ngoại trừ các kết quả của biến cố A. - Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu xác suất của mỗi biến cố không phụ thuộc vào việc biến cố kia có xảy ra hay không. - Biến cố giao nhau: Hai biến cố A và B được gọi là giao nhau nếu chúng có thể xảy ra cùng một lúc. Vì vậy, đáp án đúng là: A. xung khắc với nhau.