Trả lời câu hỏi giúp tôi

Câu 52. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ và suy ra các tính chất của hàm số $y = f(x)$. a) Hàm số $y = f(x)$ có 2 điểm cực trị. - Trên đồ thị của $y = f'(x)$, ta thấy có hai điểm mà $f'(x) = 0$, đó là tại $x = 1$ và $x = 2$. - Tại các điểm này, đạo hàm thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương, do đó hàm số $y = f(x)$ có hai điểm cực trị tại $x = 1$ và $x = 2$. b) Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$. - Trên khoảng $(1;2)$, đồ thị của $y = f'(x)$ nằm dưới trục hoành, tức là $f'(x) < 0$. - Điều này cho thấy hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$. c) Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$. - Trên khoảng $(2;+\infty)$, đồ thị của $y = f'(x)$ nằm trên trục hoành, tức là $f'(x) > 0$. - Điều này cho thấy hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(2;+\infty)$. d) Giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$ là $f(2)$. - Trên đoạn $[-1;2]$, ta thấy rằng: - Từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số $y = f(x)$ đồng biến vì $f'(x) > 0$. - Từ $x = 1$ đến $x = 2$, hàm số $y = f(x)$ nghịch biến vì $f'(x) < 0$. - Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1;2]$ sẽ là giá trị tại điểm cực đại gần nhất trong đoạn này, đó là $f(1)$. - Tuy nhiên, vì $f(x)$ nghịch biến từ $x = 1$ đến $x = 2$, nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;2]$ sẽ là $f(1)$, không phải $f(2)$. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) và b) và c). Đáp số: a), b), c). Câu 53. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi dựa trên hàm số quãng đường \( S(t) = 6t^2 - t^3 \). a) Quãng đường đi được sau khi xuất phát 2s bằng 16m. Ta thay \( t = 2 \) vào hàm số \( S(t) \): \[ S(2) = 6(2)^2 - (2)^3 = 6 \cdot 4 - 8 = 24 - 8 = 16 \text{ (m)} \] Vậy, quãng đường đi được sau khi xuất phát 2s bằng 16m là đúng. b) Gia tốc của đoàn tàu khi trong \( t = 3 \) bằng \( 6 \text{ m/s}^2 \). Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm thứ hai của hàm số quãng đường \( S(t) \): \[ v(t) = S'(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 - t^3) = 12t - 3t^2 \] \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(12t - 3t^2) = 12 - 6t \] Thay \( t = 3 \) vào biểu thức gia tốc: \[ a(3) = 12 - 6 \cdot 3 = 12 - 18 = -6 \text{ (m/s}^2) \] Vậy, gia tốc của đoàn tàu khi \( t = 3 \) bằng \( -6 \text{ m/s}^2 \), không phải \( 6 \text{ m/s}^2 \). Do đó, phần này là sai. c) Vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm \( t = 2 \) là lớn hơn vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm \( t = 1 \). Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của hàm số quãng đường \( S(t) \): \[ v(t) = 12t - 3t^2 \] Tính vận tốc tại \( t = 2 \): \[ v(2) = 12 \cdot 2 - 3 \cdot (2)^2 = 24 - 12 = 12 \text{ (m/s)} \] Tính vận tốc tại \( t = 1 \): \[ v(1) = 12 \cdot 1 - 3 \cdot (1)^2 = 12 - 3 = 9 \text{ (m/s)} \] Vì \( 12 > 9 \), nên vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm \( t = 2 \) lớn hơn vận tốc của đoàn tàu tại thời điểm \( t = 1 \). Vậy, phần này là đúng. d) Vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất khi \( t = 2 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của vận tốc, ta cần tìm đạo hàm của \( v(t) \) và giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(12t - 3t^2) = 12 - 6t \] Gắn \( v'(t) = 0 \): \[ 12 - 6t = 0 \implies t = 2 \] Để kiểm tra xem \( t = 2 \) là điểm cực tiểu hay cực đại, ta tính đạo hàm tiếp theo: \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(12 - 6t) = -6 \] Vì \( v''(t) < 0 \), nên \( t = 2 \) là điểm cực đại của \( v(t) \), không phải điểm cực tiểu. Do đó, vận tốc của chuyển động không đạt giá trị nhỏ nhất khi \( t = 2 \). Vậy, phần này là sai. Kết luận: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Vậy, các khẳng định đúng là a) và c). Câu 55. a. Tâm đối xứng của (C) là điểm $I(1;1).$ b. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty).$ c. Để tìm tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $d: y = -2x + 7$, ta cần tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$. Đạo hàm của $y$ là: \[ y' = \frac{(x-1) - (x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Tiếp tuyến song song với đường thẳng $d$ có cùng hệ số góc, tức là $y' = -2$. Do đó: \[ \frac{-2}{(x-1)^2} = -2 \] \[ \frac{1}{(x-1)^2} = 1 \] \[ (x-1)^2 = 1 \] \[ x-1 = \pm 1 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = 0 \] Ta có hai điểm trên đồ thị (C) là $(2, 3)$ và $(0, -1)$. Tiếp tuyến tại điểm $(2, 3)$ là: \[ y - 3 = -2(x - 2) \] \[ y = -2x + 7 \] Tiếp tuyến tại điểm $(0, -1)$ là: \[ y + 1 = -2(x - 0) \] \[ y = -2x - 1 \] d. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AB, biết rằng AB đi qua tâm đối xứng $I(1,1)$ và A, B thuộc hai nhánh của đồ thị (C). Giả sử A có tọa độ $(x_1, y_1)$ và B có tọa độ $(x_2, y_2)$. Vì AB đi qua tâm đối xứng $I(1,1)$, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ y_1 + y_2 = 2 \] Biểu thức của đoạn thẳng AB là: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Vì $y_1 = \frac{x_1 + 1}{x_1 - 1}$ và $y_2 = \frac{x_2 + 1}{x_2 - 1}$, thay vào ta có: \[ y_2 - y_1 = \frac{x_2 + 1}{x_2 - 1} - \frac{x_1 + 1}{x_1 - 1} \] \[ = \frac{(x_2 + 1)(x_1 - 1) - (x_1 + 1)(x_2 - 1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)} \] \[ = \frac{x_2 x_1 - x_2 + x_1 - 1 - (x_1 x_2 - x_1 + x_2 - 1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)} \] \[ = \frac{-2(x_2 - x_1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)} \] Do đó: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + \left(\frac{-2(x_2 - x_1)}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)}\right)^2} \] \[ = |x_2 - x_1| \sqrt{1 + \frac{4}{(x_2 - 1)^2 (x_1 - 1)^2}} \] Để giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AB, ta cần tối thiểu hóa biểu thức trên. Ta thấy rằng khi $x_1$ và $x_2$ tiến gần về 1 từ hai phía, giá trị của $(x_2 - 1)^2 (x_1 - 1)^2$ sẽ tiến gần về 0, làm tăng giá trị của biểu thức trong căn bậc hai. Tuy nhiên, khi $x_1$ và $x_2$ tiến xa hơn, giá trị của $(x_2 - 1)^2 (x_1 - 1)^2$ sẽ tăng lên, làm giảm giá trị của biểu thức trong căn bậc hai. Sau khi kiểm tra các giá trị cụ thể, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng AB là 4, đạt được khi $x_1 = 0$ và $x_2 = 2$ (hoặc ngược lại). Đáp số: 4 Câu 56. Để kiểm tra các khẳng định, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0;2).$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 + 2x - 2)'(x - 1) - (x^2 + 2x - 2)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x - 2)}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 - 2x + 2}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Ta xét dấu của đạo hàm trên khoảng $(0;2)$: - Trên khoảng $(0;1)$: $f'(x) < 0$ (vì $x > 0$, $x - 2 < 0$, $(x - 1)^2 > 0$) - Trên khoảng $(1;2)$: $f'(x) < 0$ (vì $x > 0$, $x - 2 < 0$, $(x - 1)^2 > 0$) Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$. Khẳng định này là đúng. b) Đường tiệm cận xiên của (C) có phương trình là $y = x + 3$. Để tìm đường tiệm cận xiên, ta chia tử số cho mẫu số: \[ y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x - 1} = x + 3 + \frac{1}{x - 1} \] Khi $x \to \infty$ hoặc $x \to -\infty$, $\frac{1}{x - 1} \to 0$. Vậy đường tiệm cận xiên là: \[ y = x + 3 \] Khẳng định này là đúng. c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[2;4]$ bằng $\frac{13}{2}$. Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn $[2;4]$: - Tại $x = 2$: \[ f(2) = \frac{2^2 + 2 \cdot 2 - 2}{2 - 1} = \frac{4 + 4 - 2}{1} = 6 \] - Tại $x = 4$: \[ f(4) = \frac{4^2 + 2 \cdot 4 - 2}{4 - 1} = \frac{16 + 8 - 2}{3} = \frac{22}{3} \approx 7.33 \] - Ta kiểm tra đạo hàm để tìm cực trị: \[ f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \] Trên đoạn $[2;4]$, đạo hàm $f'(x) > 0$ (vì $x > 0$, $x - 2 > 0$, $(x - 1)^2 > 0$). Do đó, hàm số đồng biến trên đoạn này. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2;4]$ là tại $x = 2$, tức là $f(2) = 6$. Khẳng định này là sai vì giá trị nhỏ nhất là 6, không phải $\frac{13}{2}$. Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai