Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa hàm số và nguyên hàm của nó.
- Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nếu đạo hàm của bằng . Điều này có nghĩa là:
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định:
A.
- Khẳng định này sai vì là nguyên hàm của , không phải đạo hàm của .
B.
- Khẳng định này sai vì chỉ bằng , không thêm hằng số .
C.
- Khẳng định này sai vì là nguyên hàm của , không liên quan đến đạo hàm của cộng thêm 1.
D.
- Khẳng định này đúng vì đạo hàm của nguyên hàm của một hàm số chính là hàm số ban đầu.
Vậy khẳng định đúng là:
Câu 2.
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện: Phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định vì nó là phương trình mũ cơ bản.
2. Viết lại phương trình: Ta nhận thấy rằng có thể viết dưới dạng lũy thừa của . Cụ thể:
Do đó, phương trình trở thành:
3. So sánh các lũy thừa: Vì hai vế đều có cùng cơ số là , ta có thể so sánh các số mũ:
4. Kiểm tra lại: Thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra:
Điều này đúng, do đó nghiệm của phương trình là .
Vậy nghiệm của phương trình là . Đáp án đúng là:
Câu 3.
Để tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường , , , và với , ta sử dụng công thức tích phân để tính diện tích dưới đồ thị hàm số .
Công thức tính diện tích hình phẳng (H) là:
Trong đó:
- và là các cận của đoạn trên trục hoành.
- là giá trị tuyệt đối của hàm số để đảm bảo diện tích luôn dương, kể cả khi có giá trị âm.
Do đó, đáp án đúng là:
Lập luận từng bước:
1. Xác định cận trên và cận dưới của đoạn trên trục hoành là và .
2. Áp dụng công thức tích phân để tính diện tích dưới đồ thị hàm số .
3. Sử dụng giá trị tuyệt đối của để đảm bảo diện tích luôn dương.
Vậy đáp án đúng là:
Câu 4.
Để tìm phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có một vector chỉ phương , ta sử dụng công thức phương trình chính tắc của đường thẳng trong không gian:
Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm và có vector chỉ phương là:
Áp dụng vào bài toán:
- Điểm có , ,
- Vector chỉ phương có , ,
Thay vào công thức trên, ta có:
Do đó, phương trình chính tắc của đường thẳng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5.
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và , ta sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho.
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và có dạng:
Áp dụng vào bài toán:
-
-
-
Ta có:
Tính định thức:
Mở rộng theo hàng đầu:
Tính các định thức 2x2:
Chia cả phương trình cho -3 để đơn giản hóa:
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và là:
Đáp án đúng là: .
Câu 6.
Trong hình chóp đều S.ABCD, ta có SO vuông góc với đáy ABCD tại tâm O của hình vuông ABCD. Do đó, SO vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Ta xét các mặt phẳng đã cho:
- Mặt phẳng (SCD) chứa SO và cắt đáy ABCD theo đường thẳng CD. Vì SO vuông góc với đáy ABCD, nên (SCD) không vuông góc với (ABCD).
- Mặt phẳng (SAD) chứa SO và cắt đáy ABCD theo đường thẳng AD. Vì SO vuông góc với đáy ABCD, nên (SAD) không vuông góc với (ABCD).
- Mặt phẳng (SBC) chứa SO và cắt đáy ABCD theo đường thẳng BC. Vì SO vuông góc với đáy ABCD, nên (SBC) không vuông góc với (ABCD).
- Mặt phẳng (SBD) chứa SO và cắt đáy ABCD theo đường thẳng BD. Vì SO vuông góc với đáy ABCD, nên (SBD) vuông góc với (ABCD).
Do đó, mặt phẳng (SBD) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Đáp án đúng là: D. (SBD).
Câu 7.
Để tìm tiệm cận đứng của hàm số , ta cần xác định giá trị của làm mẫu số bằng 0.
Tiệm cận đứng của hàm số là đường thẳng .
Trong đồ thị đã cho, ta thấy rằng hàm số có tiệm cận đứng ở . Điều này có nghĩa là khi , mẫu số sẽ bằng 0.
Do đó, ta có:
Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là .
Đáp án đúng là: .
Câu 8.
Để tìm công sai của cấp số cộng với và , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định công sai :
- Công sai của một cấp số cộng được tính bằng cách lấy số hạng thứ hai trừ đi số hạng thứ nhất:
- Thay các giá trị đã biết vào:
2. Kiểm tra lại đáp án:
- Các đáp án được đưa ra là:
- Ta thấy rằng đáp án đúng là , nhưng trong các lựa chọn không có đáp án này. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn.
Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng không có đáp án nào đúng. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại đề bài hoặc các lựa chọn đã cho.
Đáp án: Đáp án đúng là , nhưng trong các lựa chọn không có đáp án này.