Trả lời câu hỏi giúp tôi

Câu 1. Ta có: $\overrightarrow u=\overrightarrow{BB^\prime}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ $=\overrightarrow{BB^\prime}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$ $=\overrightarrow{BB^\prime}+\overrightarrow{BD}$ $=\overrightarrow{BD^\prime}$ Vậy $\overrightarrow u=\overrightarrow{BD^\prime}$. Chọn đáp án B Câu 2. Phương trình của elip đã cho là $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1$. Trong đó: - $a^2 = 49$, suy ra $a = 7$ - $b^2 = 16$, suy ra $b = 4$ Độ dài trục nhỏ của elip là $2b$. Vậy độ dài trục nhỏ là: \[ 2b = 2 \times 4 = 8 \] Do đó, đáp án đúng là: D. 8. Câu 3. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.EFGH, các cạnh của nó đều bằng nhau và vuông góc với nhau. Ta sẽ xác định vị trí của các điểm A, F, E và G để dễ dàng hơn trong việc tính góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{AF}$ và $\overrightarrow{EG}$. - Điểm A nằm ở góc dưới bên trái của mặt đáy ABCD. - Điểm F nằm ở góc trên bên phải của mặt trên EFGH. - Điểm E nằm ở góc trên bên trái của mặt trên EFGH. - Điểm G nằm ở góc trên bên phải của mặt trước DCGH. Ta có thể coi hình lập phương này nằm trong hệ tọa độ Oxyz với: - A(0, 0, 0) - B(a, 0, 0) - C(a, a, 0) - D(0, a, 0) - E(0, 0, a) - F(a, 0, a) - G(a, a, a) - H(0, a, a) Bây giờ, ta sẽ xác định tọa độ của các véc tơ $\overrightarrow{AF}$ và $\overrightarrow{EG}$: - $\overrightarrow{AF} = F - A = (a, 0, a)$ - $\overrightarrow{EG} = G - E = (a, a, 0)$ Tiếp theo, ta tính tích vô hướng của hai véc tơ này: \[ \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{EG} = (a, 0, a) \cdot (a, a, 0) = a \cdot a + 0 \cdot a + a \cdot 0 = a^2 \] Sau đó, ta tính độ dài của mỗi véc tơ: \[ |\overrightarrow{AF}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{EG}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \] Bây giờ, ta tính cosin của góc giữa hai véc tơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{EG}}{|\overrightarrow{AF}| |\overrightarrow{EG}|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} \] Từ đây, ta suy ra góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \] Vậy góc giữa cặp véc tơ $\overrightarrow{AF}$ và $\overrightarrow{EG}$ là $60^\circ$. Đáp án đúng là: \[ C.~60^0. \] Câu 4. Trước tiên, ta sẽ xác định các vectơ trong hình hộp ABCD.A'B'C'D'. - Vectơ $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh A'. - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C. Ta cần tìm tổng của hai vectơ này: $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC}$. Theo quy tắc hình học của vectơ, ta có thể cộng hai vectơ bằng cách nối đuôi của vectơ thứ nhất với đầu của vectơ thứ hai. Khi ta nối vectơ $\overrightarrow{AA'}$ và vectơ $\overrightarrow{AC}$, ta sẽ có vectơ mới từ đỉnh A đến đỉnh C' (đỉnh C' là đỉnh đối diện với đỉnh A trong mặt phẳng chứa A', B', C', D'). Do đó, tổng của các vectơ $\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AC}$ là vectơ $\overrightarrow{AC'}$. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{AC'} \] Đáp số: \( A.~\overrightarrow{AC'} \) Câu 5. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu đúng. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'A'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BB'}$ là vectơ từ B đến B'. - $\overrightarrow{B'A'}$ là vectơ từ B' đến A'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{BC'}$ là vectơ từ B đến C'. - $\overrightarrow{C'D'}$ là vectơ từ C' đến D'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. Tổng của ba vectơ này không phải là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này sai. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. Tổng của ba vectơ này là $\overrightarrow{AC'}$. Do đó, phát biểu này đúng. Vậy phát biểu đúng là: D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC'}$ Câu 6. Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp: A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. - $\overrightarrow{AA'}$ là vectơ từ A đến A'. - $\overrightarrow{AC'}$ là vectơ từ A đến C'. Trong hình lập phương, ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} \] \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Do đó: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'} \] Mệnh đề này đúng. B. $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{AD}$ là vectơ từ A đến D. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C. Trong hình lập phương, ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Mệnh đề này đúng. C. $\overrightarrow{AB} = |\overrightarrow{CD}|$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ từ C đến D. - $|\overrightarrow{CD}|$ là độ dài của vectơ $\overrightarrow{CD}$. Trong hình lập phương, ta có: \[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{CD}| \] Tuy nhiên, $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ khác nhau về hướng, do đó: \[ \overrightarrow{AB} \neq |\overrightarrow{CD}| \] Mệnh đề này sai. D. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ A đến B. - $\overrightarrow{CD}$ là vectơ từ C đến D. Trong hình lập phương, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{CD} \] Mệnh đề này sai. Như vậy, mệnh đề sai là: \[ \boxed{C.~\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{CD}|.} \] Câu 7. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ về các tính chất của hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hình hộp là một khối đa diện có 6 mặt, trong đó mỗi mặt là một hình bình hành. Các cạnh đối diện của hình hộp song song và bằng nhau. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu để xác định phát biểu nào là đúng: 1. Phát biểu 1: Các đường chéo của hình hộp cắt nhau tại một điểm. - Các đường chéo của hình hộp không nhất thiết phải cắt nhau tại một điểm. Chỉ có các đường chéo của hình hộp chữ nhật mới cắt nhau tại một điểm. 2. Phát biểu 2: Các mặt của hình hộp đều là hình bình hành. - Đúng. Các mặt của hình hộp đều là hình bình hành. 3. Phát biểu 3: Các đỉnh của hình hộp đều nằm trên cùng một mặt phẳng. - Sai. Các đỉnh của hình hộp không nằm trên cùng một mặt phẳng vì hình hộp là một khối đa diện ba chiều. 4. Phát biểu 4: Các đường chéo của hình hộp đều bằng nhau. - Sai. Các đường chéo của hình hộp không nhất thiết phải bằng nhau, trừ trường hợp đặc biệt là hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương. Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng phát biểu đúng là: Phát biểu 2: Các mặt của hình hộp đều là hình bình hành. Đáp án: Phát biểu 2.