Giúp lm bài tập vs 4 chữ số khác nhau và là số chẵn.,Câu 18. Cho hai đường thẳng song song $d_1$ và $d_2.$ Trên $d_1$ lấy 7 điểm phân biệt, trên $d_2$ lấy 8 điểm,phân biệt. Tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 15 điểm này.,Câu 19. Viết khai triển biểu thức sau $(x+2)^4$,Câu 20. Một hộp có 6 viên bi đỏ, 5 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp 5 viên bi,,tính xác suất để 5 viên bi được chọn có cả 3 màu và có ít nhất 2 bi đỏ.,Câu 21. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1;3),~B(2;3)$ và,$C(1;-4)$,Câu 22. Ba bạn Tuấn, An, Bình mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn $[1;17].$,Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng là số chia hết cho 3.

Question

Accepted Answer

Câu 18.
Để tính số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 15 điểm này, ta cần chọn 3 điểm sao cho chúng không thẳng hàng. Vì hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ song song nên bất kỳ ba điểm nào được chọn từ cả hai đường thẳng đều không thẳng hàng.

Ta sẽ xem xét các trường hợp sau:

1. Chọn 2 điểm từ $d_1$ và 1 điểm từ $d_2$:
   - Số cách chọn 2 điểm từ 7 điểm trên $d_1$ là $\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
   - Số cách chọn 1 điểm từ 8 điểm trên $d_2$ là $\binom{8}{1} = 8$.
   - Tổng số tam giác trong trường hợp này là $21 \times 8 = 168$.

2. Chọn 1 điểm từ $d_1$ và 2 điểm từ $d_2$:
   - Số cách chọn 1 điểm từ 7 điểm trên $d_1$ là $\binom{7}{1} = 7$.
   - Số cách chọn 2 điểm từ 8 điểm trên $d_2$ là $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
   - Tổng số tam giác trong trường hợp này là $7 \times 28 = 196$.

Tổng số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 15 điểm này là:
$$ 168 + 196 = 364 $$

Đáp số: 364 tam giác.

Câu 19.
Để khai triển biểu thức $(x + 2)^4$, ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức này cho phép ta mở rộng lũy thừa của tổng hai số theo dạng tổng các lũy thừa của từng số nhân với các hệ số nhị thức.

Công thức nhị thức Newton cho $(a + b)^n$ là:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$
Trong đó $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng:
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

Áp dụng công thức này cho $(x + 2)^4$, ta có:
$$
(x + 2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} x^{4-k} 2^k
$$

Bây giờ, ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:

1. Khi $k = 0$:
$$
\binom{4}{0} x^{4-0} 2^0 = 1 \cdot x^4 \cdot 1 = x^4
$$

2. Khi $k = 1$:
$$
\binom{4}{1} x^{4-1} 2^1 = 4 \cdot x^3 \cdot 2 = 8x^3
$$

3. Khi $k = 2$:
$$
\binom{4}{2} x^{4-2} 2^2 = 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2
$$

4. Khi $k = 3$:
$$
\binom{4}{3} x^{4-3} 2^3 = 4 \cdot x \cdot 8 = 32x
$$

5. Khi $k = 4$:
$$
\binom{4}{4} x^{4-4} 2^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16
$$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
$$

Vậy, khai triển của biểu thức $(x + 2)^4$ là:
$$
(x + 2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
$$

Câu 20.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tổng số cách chọn 5 viên bi từ 15 viên bi:
   Số cách chọn 5 viên bi từ 15 viên bi là:
   $$
   C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5! \cdot 10!}
   $$

2. Tính số cách chọn 5 viên bi sao cho có cả 3 màu và ít nhất 2 viên bi đỏ:
   - Trường hợp 1: Có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 2 viên bi xanh.
     $$
     C_6^2 \times C_5^1 \times C_4^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \times \frac{5!}{1! \cdot 4!} \times \frac{4!}{2! \cdot 2!}
     $$
   - Trường hợp 2: Có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng và 1 viên bi xanh.
     $$
     C_6^2 \times C_5^2 \times C_4^1 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \times \frac{5!}{2! \cdot 3!} \times \frac{4!}{1! \cdot 3!}
     $$
   - Trường hợp 3: Có 3 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 1 viên bi xanh.
     $$
     C_6^3 \times C_5^1 \times C_4^1 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \times \frac{5!}{1! \cdot 4!} \times \frac{4!}{1! \cdot 3!}
     $$

3. Tính xác suất:
   Xác suất để 5 viên bi được chọn có cả 3 màu và có ít nhất 2 viên bi đỏ là:
   $$
   P = \frac{\text{Số cách chọn 5 viên bi có cả 3 màu và ít nhất 2 viên bi đỏ}}{\text{Tổng số cách chọn 5 viên bi từ 15 viên bi}}
   $$

Bây giờ, chúng ta sẽ tính cụ thể từng trường hợp:

- Tổng số cách chọn 5 viên bi từ 15 viên bi:
  $$
  C_{15}^5 = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = 3003
  $$

- Trường hợp 1:
  $$
  C_6^2 \times C_5^1 \times C_4^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \times \frac{5!}{1! \cdot 4!} \times \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 15 \times 5 \times 6 = 450
  $$

- Trường hợp 2:
  $$
  C_6^2 \times C_5^2 \times C_4^1 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \times \frac{5!}{2! \cdot 3!} \times \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 15 \times 10 \times 4 = 600
  $$

- Trường hợp 3:
  $$
  C_6^3 \times C_5^1 \times C_4^1 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \times \frac{5!}{1! \cdot 4!} \times \frac{4!}{1! \cdot 3!} = 20 \times 5 \times 4 = 400
  $$

Tổng số cách chọn 5 viên bi có cả 3 màu và ít nhất 2 viên bi đỏ:
$$
450 + 600 + 400 = 1450
$$

Xác suất:
$$
P = \frac{1450}{3003}
$$

Đáp số: 
$$
P = \frac{1450}{3003}
$$

Câu 21.
Để viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1;3)$, $B(2;3)$ và $C(1;-4)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
   - Tâm của đường tròn là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác $ABC$.
   - Ta sẽ tìm phương trình đường trung trực của hai đoạn thẳng $AB$ và $AC$.

2. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AB$:
   - Trung điểm của $AB$ là $M\left(\frac{1+2}{2}; \frac{3+3}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}; 3\right)$.
   - Đường thẳng $AB$ có phương trình $y = 3$ (vì cả hai điểm $A$ và $B$ có cùng hoành độ).
   - Đường trung trực của $AB$ sẽ vuông góc với $AB$ và đi qua trung điểm $M$. Vì $AB$ là đường thẳng ngang, đường trung trực của nó sẽ là đường thẳng đứng đi qua $M$, tức là $x = \frac{3}{2}$.

3. Tìm phương trình đường trung trực của đoạn thẳng $AC$:
   - Trung điểm của $AC$ là $N\left(\frac{1+1}{2}; \frac{3-4}{2}\right) = N\left(1; -\frac{1}{2}\right)$.
   - Đường thẳng $AC$ có phương trình $x = 1$ (vì cả hai điểm $A$ và $C$ có cùng tung độ).
   - Đường trung trực của $AC$ sẽ vuông góc với $AC$ và đi qua trung điểm $N$. Vì $AC$ là đường thẳng dọc, đường trung trực của nó sẽ là đường thẳng ngang đi qua $N$, tức là $y = -\frac{1}{2}$.

4. Tìm giao điểm của hai đường trung trực:
   - Giao điểm của đường thẳng $x = \frac{3}{2}$ và $y = -\frac{1}{2}$ là tâm của đường tròn $(I)\left(\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}\right)$.

5. Tính bán kính của đường tròn:
   - Bán kính là khoảng cách từ tâm đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn. Ta tính khoảng cách từ tâm $I$ đến điểm $A$:
     $$
     R = IA = \sqrt{\left(1 - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(3 + \frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{49}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
     $$

6. Viết phương trình đường tròn:
   - Phương trình đường tròn có tâm $(I)\left(\frac{3}{2}; -\frac{1}{2}\right)$ và bán kính $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ là:
     $$
     \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2
     $$
     $$
     \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}
     $$

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A(1;3)$, $B(2;3)$ và $C(1;-4)$ là:
$$
\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{25}{2}
$$

Câu 22.
Để tính xác suất để ba số được viết ra có tổng là số chia hết cho 3, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tổng số cách chọn 3 số từ đoạn [1;17]:
   - Số các số tự nhiên trong đoạn [1;17] là 17.
   - Tổng số cách chọn 3 số từ 17 số là:
     $$
     C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680
     $$

2. Phân loại các số theo dư khi chia cho 3:
   - Các số chia hết cho 3: 3, 6, 9, 12, 15 (5 số)
   - Các số chia cho 3 dư 1: 1, 4, 7, 10, 13, 16 (6 số)
   - Các số chia cho 3 dư 2: 2, 5, 8, 11, 14, 17 (6 số)

3. Tìm các trường hợp mà tổng của 3 số chia hết cho 3:
   - Trường hợp 1: Tất cả 3 số đều chia hết cho 3.
     $$
     C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10
     $$
   - Trường hợp 2: Mỗi loại dư 1 số (1 số chia hết cho 3, 1 số chia cho 3 dư 1, 1 số chia cho 3 dư 2).
     $$
     5 \times 6 \times 6 = 180
     $$

4. Tổng số cách chọn 3 số sao cho tổng chia hết cho 3:
   $$
   10 + 180 = 190
   $$

5. Tính xác suất:
   $$
   P = \frac{\text{Tổng số cách chọn 3 số có tổng chia hết cho 3}}{\text{Tổng số cách chọn 3 số từ 17 số}} = \frac{190}{680} = \frac{19}{68}
   $$

Vậy xác suất để ba số được viết ra có tổng là số chia hết cho 3 là $\frac{19}{68}$.