Giup toi voi

"Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD và CE cắt
nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AH "
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Chứng minh $\widehat{NDM}=\widehat{NEM}.$
Bài 8. Cho đường tròn (O) và dây cung BC. Điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác
"ABC nhọn. Đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O)"
"theo thứ tự tại M , N ."
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Chứng minh $EF//MN$ và $EF\bot OA.$
"Bài 9. Cho đường tròn (O), đường kính $AB=2R.$ Dây cung MN vuông góc với AB"
"tại I sao cho $IA

Question

Giup toi voi

"Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD và CE cắt 
 nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AH "
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Chứng minh $\widehat{NDM}=\widehat{NEM}.$
Bài 8. Cho đường tròn (O) và dây cung BC. Điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác
"ABC nhọn. Đường cao BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O)"
"theo thứ tự tại M , N ."
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) Chứng minh $EF//MN$ và $EF\bot OA.$
"Bài 9. Cho đường tròn (O), đường kính $AB=2R.$ Dây cung MN vuông góc với AB"
"tại I sao cho $IA<IB.$ Trên đoạn MI lấy điểm E (E khác M và I). Tia EA cắt đường tròn tại 
 điểm thứ hai là K."
a. Chứng minh tứ giác BIEK nội tiếp.
b. Chứng minh $AM^2=AE.AK$

Mua hàng shopee · Accepted Answer

Bài 8:

a) Chứng minh tứ giác $BCEF$ nội tiếp:

Ta có $\widehat{BFC} = 90^\circ$ (do $CF$ là đường cao) và $\widehat{BEC} = 90^\circ$ (do $BE$ là đường cao).

Xét tứ giác $BCEF$, ta có $\widehat{BFC} + \widehat{BEC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Vậy tứ giác $BCEF$ nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$).

b) Chứng minh $EF // MN$ và $EF \perp OA$:

* Chứng minh $EF // MN$:

Gọi $D$ là giao điểm của $AH$ và $BC$.

Tứ giác $BFEC$ nội tiếp (cmt)

$\Rightarrow \widehat{AFE} = \widehat{ACB}$ (cùng chắn cung $AE$)

Tứ giác $BHNC$ nội tiếp (vì $\widehat{BNC} = \widehat{BHC} = 90^o$)

$\Rightarrow \widehat{ANM} = \widehat{ACB}$ (cùng chắn cung $BM$)

Từ đó suy ra $\widehat{AFE} = \widehat{ANM}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $EF // MN$.

* Chứng minh $EF \perp OA$:

Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $BC$.

Ta có: $OA$ là bán kính đường tròn $(O)$.

$ riangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ có $H$ là trực tâm.

$\Rightarrow AH = 2OI$ (tính chất quen thuộc)

Mà $AH \perp EF$ ($H$ là trực tâm $ riangle ABC$)

$\Rightarrow OI \perp EF$

$\Rightarrow OA \perp EF$.

Timi · Answer

Bài 7.
a) Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác BCDE nội tiếp (góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

b) Ta có $\widehat{NDM}=\widehat{NEM}$ (cùng chắn cung NM).

Bài 8.
a) Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác BCEF nội tiếp (cùng chắn cung BFCE).

b) Ta có $\widehat{BFE}=\widehat{BCE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE) và $\widehat{BCE}=\widehat{BNM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BM) nên $\widehat{BFE}=\widehat{BNM}$. Từ đó ta có $EF//MN$.

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{BCE}=180^\circ$ (tổng hai góc kề bù) và $\widehat{BCE}+\widehat{BNM}=180^\circ$ (tổng hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM) nên $\widehat{BAC}=\widehat{BNM}$. Mà $\widehat{BAC}=\widehat{BMN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BN) nên $\widehat{BMN}=\widehat{BNM}$. Từ đó ta có $	riangle BMN$ cân tại B.

Lại có $\widehat{BAM}=\widehat{BAN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BN) nên OA là tia phân giác của $\angle MAN$. Từ đó ta có $OA\perp MN$ (tia phân giác của một góc vuông trong tam giác vuông vuông góc với cạnh huyền). Suy ra $OA\perp EF$.

Bài 9.
a. Chứng minh tứ giác BIEK nội tiếp:
- Ta có $\angle BAK = 90^\circ$ vì AK là dây cung vuông góc với đường kính AB.
- Xét tam giác AIE và tam giác AKB:
  + $\angle AIE = \angle AKB$ (cùng chắn cung AK).
  + $\angle AEI = \angle ABK$ (góc ngoài tam giác AIE bằng góc trong cùng cung AK).
- Vậy $\angle BIE + \angle BKE = 180^\circ$, do đó tứ giác BIEK nội tiếp.

b. Chứng minh $AM^2 = AE \cdot AK$:
- Ta có $\angle AME = \angle AKE$ (cùng chắn cung AE).
- Xét tam giác AME và tam giác AKE:
  + $\angle AME = \angle AKE$ (chắn cung AE).
  + $\angle MAE = \angle KAE$ (cùng góc đỉnh A).
- Vậy tam giác AME đồng dạng với tam giác AKE (g.g).
- Từ đó ta có tỉ lệ: $\frac{AM}{AE} = \frac{AK}{AM}$.
- Nhân cả hai vế với $AM \cdot AE$, ta được: $AM^2 = AE \cdot AK$.