giúp em nốt 4 câu còn lại ak Câu 3: Cho hình lăng trụ đều ABC - A'B'C' có đáy cạnh a , góc giữa đường thẳng,A'B và mặt phẳng (ABC) là $60^0.$ Tính góc giữa đường thẳng C A và,mặt phẳng (AAAB'BB)??,Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy cạnh a và chiều cao $SO=2a.$ Gọi,M,N,P, Q lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC,SD. Tính thể tích,khối chóp cụt đều ABCD.MNPQ.,Câu 5: Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo,công thức $S(t)=s(0).2^t,$ trong đó s(O) là số lượng vi khuẩn A lúc ban,đầu, s(t) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số,lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu,,số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?,Câu 6: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình,$S=f(t)=t^3-3t^2+4t,$ trong đó t được tính bằng giây (s) và S được,tính bằng mét (m). Gia tốc của chất điểm tại thời điểm $t=2~(s)$ có giá,trị là bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $O$ là trung điểm của $AB$, ta có $A'O \perp (ABC)$.

Do đó, góc giữa đường thẳng $A'B$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $A'BO$, và ta biết rằng góc này bằng $60^\circ$.

Ta tính chiều cao $A'O$ của lăng trụ:
$$ A'O = A'B \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}. $$

Tiếp theo, ta xác định góc giữa đường thẳng $CA'$ và mặt phẳng $(AA'B'B)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $A'B'$. Ta cần tính góc $CA'H$.

Trong tam giác $A'CH$, ta có:
$$ CH = \sqrt{A'C^2 - A'H^2}. $$

Ta tính $A'C$:
$$ A'C = \sqrt{A'O^2 + OC^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}. $$

Vì $A'H = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (do $A'B' = a$ và $A'H$ là nửa cạnh của hình vuông $A'B'BC'$), ta có:
$$ CH = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{6a^2}{4} - \frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4a^2}{4}} = a. $$

Góc giữa đường thẳng $CA'$ và mặt phẳng $(AA'B'B)$ là góc $CA'H$:
$$ \tan(CA'H) = \frac{CH}{A'H} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}. $$

Vậy góc giữa đường thẳng $CA'$ và mặt phẳng $(AA'B'B)$ là:
$$ \angle CA'H = \arctan(\sqrt{2}). $$

Đáp số: $\arctan(\sqrt{2})$.

Câu 4:
Trước tiên, ta xác định các thông số cần thiết để tính thể tích khối chóp cụt đều ABCD.MNPQ.

1. Tính diện tích đáy ABCD:
   Đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, nên diện tích đáy là:
   $$
   S_{ABCD} = a^2
   $$

2. Tính diện tích đáy MNPQ:
   Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD, nên MNPQ cũng là hình vuông và cạnh của nó bằng nửa cạnh đáy ABCD. Do đó, cạnh của MNPQ là $\frac{a}{2}$, và diện tích đáy MNPQ là:
   $$
   S_{MNPQ} = \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2}{4}
   $$

3. Tính chiều cao của khối chóp cụt:
   Chiều cao của khối chóp S.ABCD là SO = 2a. Vì M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD, nên chiều cao từ S đến MNPQ là $\frac{SO}{2} = a$. Do đó, chiều cao của khối chóp cụt ABCD.MNPQ là:
   $$
   h = SO - \text{chiều cao từ S đến MNPQ} = 2a - a = a
   $$

4. Tính thể tích khối chóp cụt:
   Thể tích của khối chóp cụt đều được tính theo công thức:
   $$
   V = \frac{1}{3} h (S_{ABCD} + S_{MNPQ} + \sqrt{S_{ABCD} \cdot S_{MNPQ}})
   $$
   Thay các giá trị đã tính vào công thức:
   $$
   V = \frac{1}{3} a \left(a^2 + \frac{a^2}{4} + \sqrt{a^2 \cdot \frac{a^2}{4}}\right)
   $$
   $$
   V = \frac{1}{3} a \left(a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2}\right)
   $$
   $$
   V = \frac{1}{3} a \left(a^2 + \frac{a^2}{4} + \frac{2a^2}{4}\right)
   $$
   $$
   V = \frac{1}{3} a \left(a^2 + \frac{3a^2}{4}\right)
   $$
   $$
   V = \frac{1}{3} a \left(\frac{4a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}\right)
   $$
   $$
   V = \frac{1}{3} a \left(\frac{7a^2}{4}\right)
   $$
   $$
   V = \frac{7a^3}{12}
   $$

Vậy thể tích của khối chóp cụt đều ABCD.MNPQ là:
$$
\boxed{\frac{7a^3}{12}}
$$

Câu 5:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định số lượng vi khuẩn ban đầu $ s(0) $.
2. Tìm thời gian $ t $ để số lượng vi khuẩn đạt 10 triệu con.

Bước 1: Xác định số lượng vi khuẩn ban đầu $ s(0) $.

Biết rằng sau 3 phút, số lượng vi khuẩn là 625 nghìn con. Ta có:
$$ s(3) = s(0) \cdot 2^3 = 625 \text{ nghìn} $$

Tính $ s(0) $:
$$ s(0) \cdot 8 = 625 \text{ nghìn} $$
$$ s(0) = \frac{625 \text{ nghìn}}{8} = 78.125 \text{ nghìn} $$

Bước 2: Tìm thời gian $ t $ để số lượng vi khuẩn đạt 10 triệu con.

Ta có:
$$ s(t) = s(0) \cdot 2^t = 10 \text{ triệu} $$

Thay $ s(0) = 78.125 \text{ nghìn} $ vào:
$$ 78.125 \text{ nghìn} \cdot 2^t = 10 \text{ triệu} $$

Chuyển đổi đơn vị để dễ tính toán:
$$ 78.125 \text{ nghìn} = 78.125 \times 10^3 $$
$$ 10 \text{ triệu} = 10 \times 10^6 $$

Do đó:
$$ 78.125 \times 10^3 \cdot 2^t = 10 \times 10^6 $$
$$ 78.125 \cdot 2^t = 10 \times 10^3 $$
$$ 78.125 \cdot 2^t = 10000 $$

Chia cả hai vế cho 78.125:
$$ 2^t = \frac{10000}{78.125} $$
$$ 2^t = 128 $$

Biết rằng $ 128 = 2^7 $, nên:
$$ 2^t = 2^7 $$
$$ t = 7 $$

Vậy sau 7 phút, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con.

Câu 6:
Để tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm $ t = 2 $ (s), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc tức thời của chất điểm:
   Vận tốc tức thời $ v(t) $ là đạo hàm của phương trình chuyển động $ S(t) $.

$$
   v(t) = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 4t)
   $$

Ta tính đạo hàm từng hạng tử:
   
   $$
   \frac{d}{dt}(t^3) = 3t^2
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(-3t^2) = -6t
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(4t) = 4
   $$

Vậy vận tốc tức thời là:

$$
   v(t) = 3t^2 - 6t + 4
   $$

2. Tìm gia tốc tức thời của chất điểm:
   Gia tốc tức thời $ a(t) $ là đạo hàm của vận tốc tức thời $ v(t) $.

$$
   a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 4)
   $$

Ta tính đạo hàm từng hạng tử:
   
   $$
   \frac{d}{dt}(3t^2) = 6t
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(-6t) = -6
   $$
   $$
   \frac{d}{dt}(4) = 0
   $$

Vậy gia tốc tức thời là:

$$
   a(t) = 6t - 6
   $$

3. Tính gia tốc tại thời điểm $ t = 2 $ (s):

Thay $ t = 2 $ vào phương trình gia tốc tức thời:

$$
   a(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 12 - 6 = 6 \text{ m/s}^2
   $$

Vậy gia tốc của chất điểm tại thời điểm $ t = 2 $ (s) là $ 6 \text{ m/s}^2 $.