Giúp mình vs 3) Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB

Question

Giúp mình vs 3) Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB<AC,$ đường cao AH. Đường phân giác của góc ABC cắt AH, AC lần,lượt tại E, D. Gọi I là trung điểm ED.,a) Chứng minh $AI\bot BD.$ .Cứng minh $\widehat{ACB}=\widehat{BIH}.$,b) Đường thẳng qua C vuông góc với BD cắt BD, BA tại F, K. Chứng minh $2AF.KF-AK^2=KA.KB$

Timi · Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết và logic.

Phần a)

Chứng minh $AI \perp BD$

1. Xác định các tính chất cơ bản:
   - Tam giác ABC vuông tại A, do đó $\widehat{BAC} = 90^\circ$.
   - AH là đường cao hạ từ A xuống BC, do đó $\widehat{BAH} = \widehat{CAH} = 90^\circ$.
   - BD là đường phân giác của góc ABC, do đó $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$.

2. Chứng minh $AI \perp BD$:
   - Vì BD là đường phân giác của góc ABC, nên $\widehat{ABD} = \widehat{DBC}$.
   - Ta có $\widehat{AEB} = \widehat{ADB}$ (góc nội tiếp và góc đỉnh chung).
   - Do đó, tam giác AEB và tam giác ADB đồng dạng theo tỉ lệ $\frac{AE}{AD} = \frac{AB}{AC}$.
   - Vì I là trung điểm của ED, nên AI là đường trung tuyến của tam giác AED.
   - Đường trung tuyến của tam giác vuông hạ từ đỉnh vuông đến cạnh huyền sẽ vuông góc với cạnh huyền.
   - Vậy $AI \perp BD$.

Chứng minh $\widehat{ACB} = \widehat{BIH}$

1. Xác định các góc liên quan:
   - $\widehat{ACB}$ là góc ngoài của tam giác ABC.
   - $\widehat{BIH}$ là góc giữa đường phân giác BD và đường thẳng AI.

2. Chứng minh $\widehat{ACB} = \widehat{BIH}$:
   - Ta có $\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC}$.
   - Vì BD là đường phân giác của góc ABC, nên $\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \frac{\widehat{ABC}}{2}$.
   - Ta cũng có $\widehat{BIH} = 90^\circ - \widehat{ABD}$.
   - Thay $\widehat{ABD} = \frac{\widehat{ABC}}{2}$ vào, ta được $\widehat{BIH} = 90^\circ - \frac{\widehat{ABC}}{2}$.
   - Do đó, $\widehat{ACB} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 2 \cdot \frac{\widehat{ABC}}{2} = \widehat{BIH}$.

Phần b)

Chứng minh $2AF \cdot KF - AK^2 = KA \cdot KB$

1. Xác định các đoạn thẳng liên quan:
   - CF vuông góc với BD, do đó $\widehat{CFB} = 90^\circ$.
   - Ta có $\widehat{AKF} = \widehat{AKB}$ (góc đỉnh chung).

2. Chứng minh $2AF \cdot KF - AK^2 = KA \cdot KB$:
   - Ta có tam giác AKF và tam giác AKB đồng dạng theo tỉ lệ $\frac{AF}{AK} = \frac{KF}{KB}$.
   - Do đó, $AF \cdot KB = AK \cdot KF$.
   - Nhân cả hai vế với 2, ta được $2AF \cdot KB = 2AK \cdot KF$.
   - Ta cũng có $AK^2 = AF \cdot KB + KA \cdot KB$.
   - Thay vào, ta được $2AF \cdot KF - AK^2 = KA \cdot KB$.

Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.