Giai minh câu 5

Câu 5. Để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - mx^2 + (2m - 3)x - 1$ đều có hệ số góc dương, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - mx^2 + (2m - 3)x - 1) = 3x^2 - 2mx + (2m - 3) \] Bước 2: Yêu cầu đạo hàm luôn dương: \[ 3x^2 - 2mx + (2m - 3) > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Để một tam thức bậc hai luôn dương, ta cần: 1. Hệ số của $x^2$ dương: $3 > 0$ (điều này luôn đúng) 2. Đạo hàm tam thức không có nghiệm thực, tức là $\Delta < 0$ Bước 3: Tính $\Delta$ của tam thức $3x^2 - 2mx + (2m - 3)$: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2m - 3) = 4m^2 - 12(2m - 3) = 4m^2 - 24m + 36 \] \[ \Delta = 4(m^2 - 6m + 9) = 4(m - 3)^2 \] Để tam thức luôn dương, ta cần: \[ \Delta < 0 \] \[ 4(m - 3)^2 < 0 \] Tuy nhiên, $(m - 3)^2$ luôn không âm và bằng 0 khi $m = 3$. Do đó, $(m - 3)^2$ không thể nhỏ hơn 0. Vậy, tam thức $3x^2 - 2mx + (2m - 3)$ sẽ luôn dương nếu và chỉ nếu $(m - 3)^2 = 0$, tức là $m = 3$. Bước 4: Kiểm tra giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $(-30; 30)$: \[ m = 3 \] Vậy, có duy nhất một giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài, đó là $m = 3$. Đáp số: $m = 3$ Câu 6. Để tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \ln x$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm cấp một của hàm số $y = \ln x$. Ta có: \[ y' = \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}. \] Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \ln x$. Ta có: \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right). \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức $\frac{1}{u}$, ta có: \[ y'' = -\frac{1}{x^2}. \] Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \ln x$ là: \[ y'' = -\frac{1}{x^2}. \]