Trả lời và giải thích

Câu 13. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng biến cố và tính xác suất của chúng. 1. Xác định các biến cố: - Biến cố \( A \): Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5. Các kết quả có thể xảy ra là: \( (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \) - Biến cố \( B \): Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm. Các kết quả có thể xảy ra là: \( (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1) \) 2. Kiểm tra từng lựa chọn: - Lựa chọn a) \( AB = \{(3,4); (4,3)\} \): \( AB \) là giao của hai biến cố \( A \) và \( B \). Các kết quả thuộc cả \( A \) và \( B \) là: \( (1,4) \) và \( (4,1) \) Do đó, \( AB = \{(1,4), (4,1)\} \). Lựa chọn này sai. - Lựa chọn b) \( A \cup B = \{(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)\} \): \( A \cup B \) là hợp của hai biến cố \( A \) và \( B \). Các kết quả thuộc \( A \) hoặc \( B \) hoặc cả hai là: \( (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (6,1) \) Do đó, \( A \cup B \neq \{(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)\} \). Lựa chọn này sai. - Lựa chọn c) Số phần tử của biến cố \( A \cup B \) bằng 1: Như đã tính ở trên, \( A \cup B \) có 14 phần tử. Lựa chọn này sai. - Lựa chọn d) Xác suất của biến cố \( A \cup B \) bằng \( \frac{1}{2} \): Tổng số kết quả có thể xảy ra khi gieo hai con xúc xắc là \( 6 \times 6 = 36 \). Số phần tử của \( A \cup B \) là 14. Xác suất của biến cố \( A \cup B \) là: \[ P(A \cup B) = \frac{|A \cup B|}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \] Do đó, lựa chọn này cũng sai. Kết luận: Không có lựa chọn nào đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 14. a) Đúng. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_0;f(x_0))$ là $f^\prime(x_0)$. b) Sai. Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm trên $(0, +\infty)$ và $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. c) Sai. Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $y' = e^x$. d) Sai. Hàm số $y=x^2+x+1$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $y' = 2x + 1$. Câu 16. Để viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x = 1$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm. - Thay $x = 1$ vào phương trình $y = x^2$: \[ y = 1^2 = 1 \] Vậy tiếp điểm là $(1, 1)$. Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số $y = x^2$ để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. - Đạo hàm của $y = x^2$ là: \[ y' = 2x \] Bước 3: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x = 1$ để tìm hệ số góc của tiếp tuyến. - Thay $x = 1$ vào $y'$: \[ y'(1) = 2 \times 1 = 2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là $2$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến. - Phương trình tiếp tuyến của một đường cong tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ có dạng: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] - Thay $(x_0, y_0) = (1, 1)$ và $k = 2$ vào phương trình trên: \[ y - 1 = 2(x - 1) \] \[ y - 1 = 2x - 2 \] \[ y = 2x - 1 \] Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ là: \[ y = 2x - 1 \] Câu 18. Để tính đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \ln(x + 1) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm cấp một của hàm số \( y = \ln(x + 1) \). Ta có: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \ln(x + 1) \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên: \[ \frac{d}{dx} \left( \ln(u) \right) = \frac{u'}{u} \] Trong đó, \( u = x + 1 \) và \( u' = 1 \). Do đó: \[ y' = \frac{1}{x + 1} \] Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \ln(x + 1) \). Ta có: \[ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x + 1} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{u} \right) = -\frac{u'}{u^2} \] Trong đó, \( u = x + 1 \) và \( u' = 1 \). Do đó: \[ y'' = -\frac{1}{(x + 1)^2} \] Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = \ln(x + 1) \) là: \[ y'' = -\frac{1}{(x + 1)^2} \] Câu 19. Để tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ tại điểm $x = -1$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$. Hàm số $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ là một hàm phân thức. Ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, trong đó $u = 2x$ và $v = x - 1$. - Đạo hàm của $u = 2x$ là $u' = 2$. - Đạo hàm của $v = x - 1$ là $v' = 1$. Áp dụng công thức: \[ f'(x) = \frac{(2)(x-1) - (2x)(1)}{(x-1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \] Bước 2: Thay $x = -1$ vào đạo hàm $f'(x)$ để tính giá trị đạo hàm tại điểm đó. \[ f'(-1) = \frac{-2}{((-1)-1)^2} = \frac{-2}{(-2)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] Vậy đạo hàm của hàm số $f(x) = \frac{2x}{x-1}$ tại điểm $x = -1$ là $-\frac{1}{2}$. Câu 20. Để tính xác suất để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh, ta sẽ xem xét hai trường hợp có thể xảy ra khi bạn Lan lấy trước: 1. Trường hợp bạn Lan lấy được viên bi màu xanh: - Số viên bi màu xanh còn lại trong hộp là 6. - Tổng số viên bi còn lại trong hộp là 11 - 1 = 10. - Xác suất để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh trong trường hợp này là $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. 2. Trường hợp bạn Lan lấy được viên bi màu đỏ: - Số viên bi màu xanh còn lại trong hộp là 7. - Tổng số viên bi còn lại trong hộp là 11 - 1 = 10. - Xác suất để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh trong trường hợp này là $\frac{7}{10}$. Bây giờ, ta tính xác suất tổng thể để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh bằng cách nhân xác suất của mỗi trường hợp với xác suất của việc bạn Lan lấy được viên bi tương ứng và sau đó cộng lại. - Xác suất bạn Lan lấy được viên bi màu xanh là $\frac{7}{12}$. - Xác suất bạn Lan lấy được viên bi màu đỏ là $\frac{5}{12}$. Vậy xác suất tổng thể để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh là: \[ P(\text{Hoa lấy được viên bi màu xanh}) = P(\text{Lan lấy được viên bi màu xanh}) \times P(\text{Hoa lấy được viên bi màu xanh | Lan lấy được viên bi màu xanh}) + P(\text{Lan lấy được viên bi màu đỏ}) \times P(\text{Hoa lấy được viên bi màu xanh | Lan lấy được viên bi màu đỏ}) \] \[ = \frac{7}{12} \times \frac{3}{5} + \frac{5}{12} \times \frac{7}{10} \] \[ = \frac{21}{60} + \frac{35}{120} \] \[ = \frac{42}{120} + \frac{35}{120} \] \[ = \frac{77}{120} \] Vậy xác suất để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh là $\frac{77}{120}$.