Trả lời và giải thích

miPhần II. TNKQ đúng, sai.

Câu 13. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. A là biến cố "Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5". B là biến cố "Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm". Khi đó: a) AB={(3,4);(4,3)}

AB={(3,4);(4,3)} b) A∪B={(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)}

A∪B={(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)} c) Số phần tử của biến cố A∪B

A∪B bằng 13. d) Xác suất của biến cố A∪B

A∪B bằng 12

2

1

​

Trả lời:

Để xác định tính đúng sai của các mệnh đề trên, ta cần phân tích từng mệnh đề:

• Biến cố A: Tổng số chấm bằng 5 có các trường hợp: {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}
• {(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)}.
• 
  
• Biến cố B: Có ít nhất một mặt 1 chấm. Các trường hợp là: {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}
• {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1)}.
• 
  
• AB
• AB: Giao của A và B là các trường hợp vừa có tổng bằng 5, vừa có ít nhất một mặt 1 chấm. Vậy AB={(1,4),(4,1)}
• AB={(1,4),(4,1)}.
• a) Sai. Vì AB={(1,4),(4,1)}
• AB={(1,4),(4,1)} chứ không phải {(3,4);(4,3)}
• {(3,4);(4,3)}.
• b) Sai. Vì A∪B
• A∪B phải bao gồm tất cả các trường hợp của A và B.
• c) Sai. Số phần tử của A∪B
• A∪B không phải là 13. Cần liệt kê đầy đủ các phần tử của A∪B
• A∪B để xác định chính xác.
• d) Sai. Xác suất của A∪B
• A∪B không bằng 12
• 2
• 
  
• 1
• ​.

Câu 14. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

• a) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)
• y=f(x) tại điểm M(x0;f(x0))
• M(x0
• ​;f(x0
• ​)) là f′(x0)
• f′
• (x0
• ​)
• Đúng. Đây là định nghĩa cơ bản của đạo hàm và hệ số góc của tiếp tuyến.
• b) Hàm số y=x
• y=x
• 
  
• 
  
• ​ có đạo hàm trên R
• R và y′=1x
• y′
• =x
• 
  
• 
  
• ​
• 
  
• 1
• ​
• Sai. Hàm số y=x
• y=x
• 
  
• 
  
• ​ chỉ có đạo hàm trên (0,+∞)
• (0,+∞), không phải trên toàn bộ R
• R. Đạo hàm đúng là y′=12x
• y′
• =2x
• 
  
• 
  
• ​
• 
  
• 1
• ​.
• c) Hàm số y=ex
• y=ex
•  có đạo hàm trên R
• R và y′=2ex
• y′
• =2ex
• Sai. Đạo hàm của y=ex
• y=ex
•  là y′=ex
• y′
• =ex
• , không phải 2ex
• 2ex
• .
• d) Hàm số y=x2+x+1
• y=x2
• +x+1 có đạo hàm trên R
• R là y′=2x
• y′
• =2x
• Sai. Đạo hàm đúng của y=x2+x+1
• y=x2
• +x+1 là y′=2x+1
• y′
• =2x+1.

Phần III. TNKQ trả lời ngắn.

Câu 16. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y=x2

y=x2

 biết tiếp điểm có hoành độ x0=−1

x0

​=−1.

Trả lời:

1. Tìm tung độ của tiếp điểm: y0=(−1)2=1
2. y0
3. ​=(−1)2
4. =1. Vậy tiếp điểm là M(−1,1)
5. M(−1,1).
6. Tính đạo hàm của hàm số: y′=2x
7. y′
8. =2x.
9. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại x0=−1
10. x0
11. ​=−1: k=y′(−1)=2(−1)=−2
12. k=y′
13. (−1)=2(−1)=−2.
14. Viết phương trình tiếp tuyến: y−y0=k(x−x0)⇒y−1=−2(x+1)⇒y=−2x−1
15. y−y0
16. ​=k(x−x0
17. ​)⇒y−1=−2(x+1)⇒y=−2x−1.

Vậy phương trình tiếp tuyến là y=−2x−1

y=−2x−1.

Câu 18. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y=ln⁡(x+1)

y=ln(x+1)

Trả lời:

1. Tính đạo hàm cấp một: y′=1x+1
2. y′
3. =x+1
4. 
   
5. 1
6. ​.
7. Tính đạo hàm cấp hai: y′′=−1(x+1)2
8. y′′
9. =−(x+1)2
10. 
    
11. 1
12. ​.

Phần IV. Tự luận.

Câu 19. Tính đạo hàm của hàm số f(x)=2xx−1

f(x)=x−1

2x

​ tại điểm x=−1

x=−1.

Trả lời:

1. Tính đạo hàm của hàm số: f′(x)=2(x−1)−2x(x−1)2=−2(x−1)2
2. 
   
3. f′
4. (x)=(x−1)2
5. 
   
6. 2(x−1)−2x
7. ​=(x−1)2
8. 
   
9. −2
10. ​
11. Tính đạo hàm tại x=−1
12. x=−1: f′(−1)=−2(−1−1)2=−24=−12
13. f′
14. (−1)=(−1−1)2
15. 
    
16. −2
17. ​=4
18. 
    
19. −2
20. ​=−2
21. 
    
22. 1
23. ​

Vậy f′(−1)=−12

f′

(−1)=−2

1

​.

Câu 20. Một hộp đựng 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Lan lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Hoa lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh?

Trả lời:

Để tính xác suất bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh, ta xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: Bạn Lan lấy được bi màu xanh.
• Xác suất bạn Lan lấy được bi màu xanh là 712
• 12
• 
  
• 7
• ​.
• Sau khi bạn Lan lấy một bi xanh, còn lại 6 bi xanh và 5 bi đỏ, tổng cộng 11 bi. Xác suất bạn Hoa lấy được bi xanh là 611
• 11
• 
  
• 6
• ​.
• Xác suất của trường hợp này là 712×611=42132
• 12
• 
  
• 7
• ​×11
• 
  
• 6
• ​=132
• 
  
• 42
• ​.
• Trường hợp 2: Bạn Lan lấy được bi màu đỏ.
• Xác suất bạn Lan lấy được bi màu đỏ là 512
• 12
• 
  
• 5
• ​.
• Sau khi bạn Lan lấy một bi đỏ, còn lại 7 bi xanh và 4 bi đỏ, tổng cộng 11 bi. Xác suất bạn Hoa lấy được bi xanh là 711
• 11
• 
  
• 7
• ​.
• Xác suất của trường hợp này là 512×711=35132
• 12
• 
  
• 5
• ​×11
• 
  
• 7
• ​=132
• 
  
• 35
• ​.

Xác suất để bạn Hoa lấy được bi màu xanh là tổng xác suất của hai trường hợp: P(Hoa laˆˊy bi xanh)=42132+35132=77132=712

P(Hoa la

ˆ

ˊ

y bi xanh)=132

42

​+132

35

​=132

77

​=12

7

​

Vậy xác suất để bạn Hoa lấy được viên bi màu xanh là 712

12

7

​.