Cứu tui với

Câu 3: Để tính xác suất lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất của các trường hợp khi lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất: - Gọi \( A_i \) là sự kiện lấy được \( i \) quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ nhất (với \( i = 0, 1, 2 \)). - Số cách chọn 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là \( \binom{5}{4} = 5 \). - Xác suất lấy được 0 quả bóng bàn màu vàng: \[ P(A_0) = \frac{\binom{3}{4} \cdot \binom{2}{0}}{\binom{5}{4}} = \frac{1}{5} \] - Xác suất lấy được 1 quả bóng bàn màu vàng: \[ P(A_1) = \frac{\binom{3}{3} \cdot \binom{2}{1}}{\binom{5}{4}} = \frac{2}{5} \] - Xác suất lấy được 2 quả bóng bàn màu vàng: \[ P(A_2) = \frac{\binom{3}{2} \cdot \binom{2}{2}}{\binom{5}{4}} = \frac{2}{5} \] 2. Tính xác suất lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai trong mỗi trường hợp: - Nếu lấy 0 quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ nhất, hộp thứ hai sẽ có 4 quả bóng bàn màu vàng và 10 quả bóng bàn màu trắng. Xác suất lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là: \[ P(V | A_0) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \] - Nếu lấy 1 quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ nhất, hộp thứ hai sẽ có 5 quả bóng bàn màu vàng và 9 quả bóng bàn màu trắng. Xác suất lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là: \[ P(V | A_1) = \frac{5}{14} \] - Nếu lấy 2 quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ nhất, hộp thứ hai sẽ có 6 quả bóng bàn màu vàng và 8 quả bóng bàn màu trắng. Xác suất lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là: \[ P(V | A_2) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \] 3. Áp dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(V) = P(A_0) \cdot P(V | A_0) + P(A_1) \cdot P(V | A_1) + P(A_2) \cdot P(V | A_2) \] Thay các giá trị đã tính: \[ P(V) = \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} \right) + \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} \right) + \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} \right) \] \[ P(V) = \frac{2}{35} + \frac{10}{70} + \frac{6}{35} \] \[ P(V) = \frac{2}{35} + \frac{1}{7} + \frac{6}{35} \] \[ P(V) = \frac{2}{35} + \frac{5}{35} + \frac{6}{35} \] \[ P(V) = \frac{13}{35} \] Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là \(\frac{13}{35}\). Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về thể tích của hình lăng trụ tam giác đều và tối ưu hóa hàm số. Bước 1: Xác định thể tích của hình lăng trụ tam giác đều. Thể tích \( V \) của hình lăng trụ tam giác đều được tính theo công thức: \[ V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot h \] Trong đó: - \( a \) là độ dài các cạnh của đáy tam giác đều. - \( h \) là chiều cao của lăng trụ. Bước 2: Biết thể tích \( V = 6\sqrt{3} \) cm³, ta thay vào công thức trên: \[ 6\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot h \] Bước 3: Giải phương trình để tìm mối liên hệ giữa \( a \) và \( h \): \[ 6\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot h \] \[ 6 = \frac{1}{4} a^2 \cdot h \] \[ 24 = a^2 \cdot h \] \[ h = \frac{24}{a^2} \] Bước 4: Tính diện tích toàn phần của hình lăng trụ tam giác đều. Diện tích toàn phần \( S \) của hình lăng trụ tam giác đều bao gồm diện tích hai đáy và diện tích ba mặt bên: \[ S = 2 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \right) + 3 \times \left( \frac{1}{2} a \cdot h \right) \] \[ S = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + \frac{3}{2} a \cdot h \] Bước 5: Thay \( h = \frac{24}{a^2} \) vào công thức diện tích toàn phần: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + \frac{3}{2} a \cdot \frac{24}{a^2} \] \[ S = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + \frac{36}{a} \] Bước 6: Tìm giá trị \( a \) để diện tích toàn phần \( S \) nhỏ nhất. Để tối ưu hóa diện tích toàn phần, ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( a \) và tìm điểm cực tiểu: \[ S'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 + \frac{36}{a} \right) \] \[ S'(a) = \sqrt{3} a - \frac{36}{a^2} \] Đặt \( S'(a) = 0 \): \[ \sqrt{3} a - \frac{36}{a^2} = 0 \] \[ \sqrt{3} a = \frac{36}{a^2} \] \[ \sqrt{3} a^3 = 36 \] \[ a^3 = \frac{36}{\sqrt{3}} \] \[ a^3 = 12\sqrt{3} \] \[ a = \sqrt[3]{12\sqrt{3}} \] Bước 7: Kiểm tra điều kiện để đảm bảo \( a \) là giá trị cực tiểu: \[ S''(a) = \sqrt{3} + \frac{72}{a^3} \] Khi \( a = \sqrt[3]{12\sqrt{3}} \), ta thấy \( S''(a) > 0 \), do đó \( a = \sqrt[3]{12\sqrt{3}} \) là giá trị cực tiểu. Bước 8: Tính độ dài các cạnh bên \( h \): \[ h = \frac{24}{a^2} \] \[ h = \frac{24}{(\sqrt[3]{12\sqrt{3}})^2} \] \[ h = \frac{24}{12^{2/3} \cdot (\sqrt{3})^{2/3}} \] \[ h = \frac{24}{12^{2/3} \cdot 3^{1/3}} \] \[ h = \frac{24}{(12 \cdot 3)^{1/3}} \] \[ h = \frac{24}{36^{1/3}} \] \[ h = \frac{24}{6} \] \[ h = 4 \] Vậy, để ít hao tốn vật liệu nhất, độ dài các cạnh bên của khối lăng trụ tam giác đều là 4 cm. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định kích thước ban đầu của trang sách. 2. Xác định kích thước phần in chữ sau khi trừ đi các lề. 3. Tìm diện tích phần in chữ và tối ưu hóa nó. 4. Tính diện tích phần lề để trống. Bước 1: Xác định kích thước ban đầu của trang sách Giả sử chiều dài trang sách là \( l \) và chiều rộng là \( w \). Diện tích trang sách là: \[ l \times w = 486 \] Bước 2: Xác định kích thước phần in chữ sau khi trừ đi các lề - Lề trên và lề dưới mỗi bên là 3 cm, tổng cộng là 6 cm. - Lề trái và lề phải mỗi bên là 2 cm, tổng cộng là 4 cm. Do đó, chiều dài phần in chữ là: \[ l' = l - 6 \] Chiều rộng phần in chữ là: \[ w' = w - 4 \] Diện tích phần in chữ là: \[ A_{\text{in}} = l' \times w' = (l - 6)(w - 4) \] Bước 3: Tìm diện tích phần in chữ và tối ưu hóa nó Ta có: \[ A_{\text{in}} = (l - 6)(w - 4) \] Thay \( w = \frac{486}{l} \) vào biểu thức trên: \[ A_{\text{in}} = (l - 6)\left(\frac{486}{l} - 4\right) \] \[ A_{\text{in}} = (l - 6)\left(\frac{486 - 4l}{l}\right) \] \[ A_{\text{in}} = \frac{(l - 6)(486 - 4l)}{l} \] \[ A_{\text{in}} = \frac{486l - 4l^2 - 2916 + 24l}{l} \] \[ A_{\text{in}} = 486 - 4l - \frac{2916}{l} + 24 \] \[ A_{\text{in}} = 510 - 4l - \frac{2916}{l} \] Để tối ưu hóa diện tích phần in chữ, ta tính đạo hàm của \( A_{\text{in}} \) theo \( l \): \[ \frac{dA_{\text{in}}}{dl} = -4 + \frac{2916}{l^2} \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị cực đại: \[ -4 + \frac{2916}{l^2} = 0 \] \[ \frac{2916}{l^2} = 4 \] \[ l^2 = \frac{2916}{4} \] \[ l^2 = 729 \] \[ l = 27 \] Khi \( l = 27 \), ta có: \[ w = \frac{486}{27} = 18 \] Bước 4: Tính diện tích phần lề để trống Diện tích phần in chữ khi \( l = 27 \) và \( w = 18 \) là: \[ A_{\text{in}} = (27 - 6)(18 - 4) = 21 \times 14 = 294 \] Diện tích phần lề để trống là: \[ A_{\text{lề}} = 486 - 294 = 192 \] Vậy diện tích phần lề để trống là: \[ \boxed{192} \]