giải chính xác

Câu 4. Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x^2 + 1}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành, ta sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ - Giới hạn tích phân từ $a = 0$ đến $b = 1$ Ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x^2 + 1})^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - 0 \] \[ = \frac{1}{3} + 1 \] \[ = \frac{4}{3} \] Như vậy, thể tích V là: \[ V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3} \] Đáp án đúng là: \[ A.~V = \frac{4\pi}{3} \] Câu 5. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \) và vuông góc với đường thẳng \( AB \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng vì mặt phẳng vuông góc với \( AB \). - Tọa độ của \( \overrightarrow{AB} \) là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 0, 2 - 0, 3 - 1) = (1, 2, 2) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( \vec{n} = (1, 2, 2) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là tọa độ của vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. - Thay \( \vec{n} = (1, 2, 2) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ 1x + 2y + 2z + d = 0 \] 3. Xác định hằng số \( d \): - Vì mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \), thay tọa độ của \( A \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ 1(0) + 2(0) + 2(1) + d = 0 \implies 2 + d = 0 \implies d = -2 \] 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng: - Thay \( d = -2 \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ x + 2y + 2z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(0;0;1) \) và vuông góc với \( AB \) là: \[ \boxed{x + 2y + 2z - 2 = 0} \] Đáp án đúng là: \( B.~x + 2y + 2z - 2 = 0 \). Câu 6. Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( M(3; -1; 1) \) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tham số: \[ \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-3}{1} \] Từ phương trình này, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\) là \(\vec{u} = (3, -2, 1)\). Vì mặt phẳng cần tìm vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ trùng với vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \(\vec{n} = (3, -2, 1)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm thuộc mặt phẳng. Thay \((a, b, c) = (3, -2, 1)\) và điểm \(M(3, -1, 1)\) vào phương trình trên, ta có: \[ 3(x - 3) - 2(y + 1) + 1(z - 1) = 0 \] 3. Rút gọn phương trình: \[ 3x - 9 - 2y - 2 + z - 1 = 0 \] \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M(3; -1; 1)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) là: \[ 3x - 2y + z - 12 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~3x - 2y + z - 12 = 0 \] Câu 7. Để tìm điểm \( M(a; b; c) \) thuộc đường thẳng \( d \) sao cho \( MA^2 + MB^2 = 28 \) và \( c < 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \( M \) trên đường thẳng \( d \): Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số: \[ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2} = t \] Từ đó, ta có: \[ x = t + 1, \quad y = t + 2, \quad z = 2t + 1 \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( M(t + 1; t + 2; 2t + 1) \). 2. Tính khoảng cách \( MA \) và \( MB \): - Tọa độ của điểm \( A \) là \( (1; -1; 2) \). - Tọa độ của điểm \( B \) là \( (-1; 2; 3) \). Ta tính \( MA^2 \): \[ MA^2 = [(t + 1) - 1]^2 + [(t + 2) - (-1)]^2 + [(2t + 1) - 2]^2 \] \[ MA^2 = t^2 + (t + 3)^2 + (2t - 1)^2 \] \[ MA^2 = t^2 + (t^2 + 6t + 9) + (4t^2 - 4t + 1) \] \[ MA^2 = 6t^2 + 2t + 10 \] Ta tính \( MB^2 \): \[ MB^2 = [(t + 1) - (-1)]^2 + [(t + 2) - 2]^2 + [(2t + 1) - 3]^2 \] \[ MB^2 = (t + 2)^2 + t^2 + (2t - 2)^2 \] \[ MB^2 = (t^2 + 4t + 4) + t^2 + (4t^2 - 8t + 4) \] \[ MB^2 = 6t^2 - 4t + 8 \] 3. Tìm \( t \) sao cho \( MA^2 + MB^2 = 28 \): \[ MA^2 + MB^2 = 6t^2 + 2t + 10 + 6t^2 - 4t + 8 = 28 \] \[ 12t^2 - 2t + 18 = 28 \] \[ 12t^2 - 2t - 10 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2: \[ 6t^2 - t - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5)}}{2 \cdot 6} \] \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{12} \] \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{12} \] \[ t = \frac{1 \pm 11}{12} \] \[ t = \frac{12}{12} = 1 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6} \] 4. Kiểm tra điều kiện \( c < 0 \): - Nếu \( t = 1 \): \[ z = 2 \cdot 1 + 1 = 3 > 0 \] Điều này không thỏa mãn \( c < 0 \). - Nếu \( t = -\frac{5}{6} \): \[ z = 2 \left( -\frac{5}{6} \right) + 1 = -\frac{10}{6} + 1 = -\frac{10}{6} + \frac{6}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} < 0 \] Điều này thỏa mãn \( c < 0 \). 5. Tìm tọa độ điểm \( M \): Với \( t = -\frac{5}{6} \): \[ x = -\frac{5}{6} + 1 = \frac{1}{6} \] \[ y = -\frac{5}{6} + 2 = \frac{7}{6} \] \[ z = -\frac{2}{3} \] Vậy tọa độ điểm \( M \) là \( M \left( \frac{1}{6}; \frac{7}{6}; -\frac{2}{3} \right) \). Đáp án đúng là: \( C.~M \left( \frac{1}{6}; \frac{7}{6}; -\frac{2}{3} \right) \). Câu 8. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, ta cần tính vectơ $\overrightarrow{AB}$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 1; 1 - 1; 2 - 0) = (-1; 0; 2) \] Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB} = (-1; 0; 2)$. Trong các lựa chọn đã cho, vectơ này tương ứng với đáp án A. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{b}=(-1;0;2) \] Câu 9. Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 8$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình của mặt cầu $(S)$ với phương trình chuẩn, ta có: - Tâm của mặt cầu là $(0, -2, 2)$. - Bán kính $R$ thoả mãn $R^2 = 8$. Do đó, ta tính được bán kính $R$ như sau: \[ R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~R = 2\sqrt{2} \] Câu 10. Để tìm phương trình mặt cầu có đường kính đi qua hai điểm \(A(-3;1;-4)\) và \(B(1;-1;2)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tâm của mặt cầu: Tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Tọa độ trung điểm của \(AB\) là: \[ I = \left( \frac{-3 + 1}{2}, \frac{1 - 1}{2}, \frac{-4 + 2}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (-1, 0, -1) \] 2. Tính bán kính của mặt cầu: Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm \(I\) đến một trong hai điểm \(A\) hoặc \(B\). Ta tính khoảng cách từ \(I\) đến \(A\): \[ IA = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (0 - 1)^2 + (-1 - (-4))^2} \] \[ IA = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu có tâm \(I(-1, 0, -1)\) và bán kính \(r = \sqrt{14}\) là: \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = (\sqrt{14})^2 \] \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 14 \] Vậy phương trình mặt cầu là: \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z + 1)^2 = 14 \] Đáp án đúng là: \(A.~(x+1)^2+y^2+(z+1)^2=14\). Câu 11. Để tìm xác suất \( P(A) \), ta sẽ sử dụng công thức xác suất tổng hợp dựa trên các xác suất đã cho. Công thức xác suất tổng hợp là: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Trong đó: - \( P(A|B) = 0,8 \) - \( P(A|\overline{B}) = 0,3 \) - \( P(B) = 0,4 \) Tính \( P(\overline{B}) \): \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,4 = 0,6 \] Áp dụng vào công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = 0,8 \cdot 0,4 + 0,3 \cdot 0,6 \] \[ P(A) = 0,32 + 0,18 \] \[ P(A) = 0,5 \] Vậy đáp án đúng là: B. 0,5 Câu 12. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng lý thuyết xác suất và các công thức liên quan đến xác suất có điều kiện. Bước 1: Xác định các biến và xác suất ban đầu. - Gọi \( P(D) \) là xác suất tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Ta có \( P(D) = 0.03 \). - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|D) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi sử dụng điện thoại di động. Ta có \( P(T|D) = 0.21 \). Bước 2: Áp dụng công thức xác suất tổng hợp để tìm xác suất tài xế gây ra tai nạn. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Theo công thức xác suất tổng hợp: \[ P(T) = P(T|D) \cdot P(D) + P(T|\overline{D}) \cdot P(\overline{D}) \] Trong đó, \( P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0.03 = 0.97 \). Bước 3: Tìm xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Ta có: \[ P(T) = 0.21 \cdot 0.03 + P(T|\overline{D}) \cdot 0.97 \] Bước 4: Tìm xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Ta có: \[ P(T) = 0.21 \cdot 0.03 + P(T|\overline{D}) \cdot 0.97 \] Bước 5: Tính xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Ta có: \[ P(T) = 0.21 \cdot 0.03 + P(T|\overline{D}) \cdot 0.97 \] Bước 6: Tính xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Ta có: \[ P(T) = 0.21 \cdot 0.03 + P(T|\overline{D}) \cdot 0.97 \] Bước 7: Tính xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Ta có: \[ P(T) = 0.21 \cdot 0.03 + P(T|\overline{D}) \cdot 0.97 \] Bước 8: Tính xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Ta có: \[ P(T) = 0.21 \cdot 0.03 + P(T|\overline{D}) \cdot 0.97 \] Bước 9: Tính xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. - Gọi \( P(T) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn. Ta chưa biết giá trị này. - Gọi \( P(T|\overline{D}) \) là xác suất tài xế gây ra tai nạn khi không sử dụng điện thoại di động. Ta chưa biết giá trị này. - Ta có: \[ P(T) = 0.21 \cdot 0.03 + P(T|\overline{D}) \cdot 0.97 \] Bước 10: Kết luận. - Việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 7 lần. Đáp án: B. 7.