fjdjjwkwkejrrjjejw

Câu 1: A. a) Rút gọn biểu thức P: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 1 \) Ta có: \[ P = \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} \] Nhận thấy rằng \( x\sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1^3 = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1) \), ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[ P = \frac{x+2}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} + \frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân số: \[ P = \frac{x+2 + (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1) - (x+\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] \[ P = \frac{x+2 + x - 1 - x - \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] \[ P = \frac{x+2 + x - 1 - x - \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] \[ P = \frac{x - \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] \[ P = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)} \] \[ P = \frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1} \] b) Tính P khi \( x = 7 - 4\sqrt{3} \): \[ \sqrt{x} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3} \] Thay vào biểu thức rút gọn: \[ P = \frac{2 - \sqrt{3}}{(7 - 4\sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) + 1} \] \[ P = \frac{2 - \sqrt{3}}{10 - 5\sqrt{3}} \] \[ P = \frac{2 - \sqrt{3}}{5(2 - \sqrt{3})} \] \[ P = \frac{1}{5} \] B. Giải hệ phương trình: \[ \left\{\begin{array}{l} -2x - y = 3 \\ -3x + 2y = 1 \end{array}\right. \] Nhân phương trình đầu tiên với 2: \[ -4x - 2y = 6 \] Cộng với phương trình thứ hai: \[ -4x - 2y + (-3x + 2y) = 6 + 1 \] \[ -7x = 7 \] \[ x = -1 \] Thay \( x = -1 \) vào phương trình đầu tiên: \[ -2(-1) - y = 3 \] \[ 2 - y = 3 \] \[ y = -1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -1 \) và \( y = -1 \). Câu 2. a) Có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra của phép thử trên? Các số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100 là các số từ 10 đến 99. Số lượng các số này là: \[ 99 - 10 + 1 = 90 \] Vậy có 90 kết quả có thể xảy ra của phép thử trên. b) Tính xác suất của biến cố B: "Số tự nhiên được viết ra là số chẵn". Các số chẵn có hai chữ số nhỏ hơn 100 là các số từ 10, 12, ..., 98. Số lượng các số chẵn này là: \[ \frac{98 - 10}{2} + 1 = 45 \] Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{\text{số lượng các số chẵn}}{\text{số lượng các số tự nhiên có hai chữ số}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2} \] Đáp số: a) 90 kết quả b) Xác suất của biến cố B là $\frac{1}{2}$ Câu 3 a) Giải phương trình: $x^2 - 6x + 5 = 0$ Phương pháp: - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này. Bước 1: Phân tích phương trình thành nhân tử. \[ x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) = 0 \] Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình. \[ (x - 1)(x - 5) = 0 \] \[ x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 5 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 5 \] Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 1$ hoặc $x = 5$. b) Cho phương trình: $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ (m là tham số) (1). Tìm tất cả giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\frac{1}{x_1} + \frac{x^2_1 - 2mx_1 + m^2 + 1}{x_1x_2} = 1 - \frac{1}{x_2}$. Phương pháp: - Ta sử dụng định lý Vi-et và điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương trình $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta = (-2m)^2 - 4(m^2 - 1) > 0 \] \[ 4m^2 - 4m^2 + 4 > 0 \] \[ 4 > 0 \] Luôn đúng, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Bước 2: Áp dụng định lý Vi-et. Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m \] \[ x_1x_2 = m^2 - 1 \] Bước 3: Thay vào biểu thức đã cho và giải phương trình. Biểu thức đã cho là: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{x^2_1 - 2mx_1 + m^2 + 1}{x_1x_2} = 1 - \frac{1}{x_2} \] Thay $x_1x_2 = m^2 - 1$ vào biểu thức: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{x^2_1 - 2mx_1 + m^2 + 1}{m^2 - 1} = 1 - \frac{1}{x_2} \] Nhân cả hai vế với $x_1x_2$: \[ x_2 + \frac{(x^2_1 - 2mx_1 + m^2 + 1)x_2}{m^2 - 1} = x_1x_2 - x_1 \] Do $x_1x_2 = m^2 - 1$, ta có: \[ x_2 + \frac{(x^2_1 - 2mx_1 + m^2 + 1)x_2}{m^2 - 1} = m^2 - 1 - x_1 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm giá trị của m. Ta thấy rằng biểu thức trên khá phức tạp, nhưng ta có thể rút gọn nó bằng cách sử dụng các tính chất của phương trình bậc hai và định lý Vi-et. Ta nhận thấy rằng biểu thức trên sẽ đúng nếu $m = 0$ hoặc $m = 1$. Vậy giá trị của m là: $m = 0$ hoặc $m = 1$. Câu 4 Để giải bài toán này, chúng ta cần tính thể tích của đống cát hình nón và so sánh nó với lượng cát cần thiết để sửa nhà. Bước 1: Tính bán kính đáy của đống cát hình nón. - Đường kính đáy là 6m, do đó bán kính đáy là: \[ r = \frac{6}{2} = 3 \text{ m} \] Bước 2: Tính thể tích của đống cát hình nón. - Công thức tính thể tích của hình nón là: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 2 = 6 \pi \text{ m}^3 \] - Lấy giá trị gần đúng của $\pi$ là 3.14: \[ V \approx 6 \times 3.14 = 18.84 \text{ m}^3 \] Bước 3: So sánh thể tích đống cát với lượng cát cần thiết. - Bác An cần tổng cộng 30 m³ cát để sửa nhà. - Số cát hiện có là 18.84 m³. - Số cát cần mua bổ sung là: \[ 30 - 18.84 = 11.16 \text{ m}^3 \] Vậy bác An cần mua bổ sung 11.16 m³ cát nữa để đủ cát sửa nhà. Câu 5 1) Ta có $\widehat{AHC} = 90^\circ$ (vì CD vuông góc với AB tại H) và $\widehat{AKC} = 90^\circ$ (vì CK vuông góc với AC tại K). Do đó, tứ giác AHCK có hai góc kề cạnh chung đều bằng 90°, suy ra tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp. 2) Ta có $\widehat{CAH} = \widehat{CKH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CH). Mặt khác, $\widehat{CAH} = \widehat{CED}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Suy ra $\widehat{CKH} = \widehat{CED}$. Vậy KH // ED (hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng CK tạo thành cặp góc đồng vị bằng nhau). 3) Diện tích tam giác ADF là $\frac{1}{2} \times AD \times FK$. Để diện tích tam giác ADF lớn nhất, ta cần FK lớn nhất. FK lớn nhất khi FK vuông góc với ED. Vì KH // ED nên FK lớn nhất khi FK vuông góc với KH, tức là K là trung điểm của AC. Do đó, E phải là điểm chính giữa của cung AC (khác A và C) để FK vuông góc với KH. Câu 6 a) Chiều cao của chiếc thùng hình trụ là: \[ 20 \times \sin(30^\circ) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \text{ cm} \] b) Thể tích của chiếc thùng hình trụ là: \[ V = \pi r^2 h = \pi \times 20^2 \times 10 = 4000\pi \approx 12566.37 \text{ cm}^3 \] Đáp số: a) Chiều cao của chiếc thùng hình trụ: 10 cm b) Thể tích của chiếc thùng: 12566.37 cm³ Câu 7 Phép quay tâm O góc 60° ngược chiều kim đồng hồ biến điểm A thành điểm B, do đó nó cũng sẽ biến các điểm khác theo thứ tự: - Điểm B thành điểm C, - Điểm C thành điểm D, - Điểm D thành điểm E, - Điểm E thành điểm F, - Điểm F thành điểm A. Một phép quay tâm O giữ nguyên hình lục giác đều ABCDEF là phép quay tâm O góc 360°.