giải với timinoii @:@:@

Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp theo các giá trị của \(a\) đã cho. Trường hợp \(a > 1\): 1. Điều kiện xác định: \[ -x + 3 > 0 \implies x < 3 \] 2. Bất phương trình: \[ \log_a(-x + 3) \leq 2 \] Với \(a > 1\), hàm logarit tăng, do đó: \[ -x + 3 \leq a^2 \] Suy ra: \[ x \geq 3 - a^2 \] Trường hợp \(0 < a < 1\): 1. Điều kiện xác định: \[ -x + 3 > 0 \implies x < 3 \] 2. Bất phương trình: \[ \log_a(-x + 3) \leq 2 \] Với \(0 < a < 1\), hàm logarit giảm, do đó: \[ -x + 3 \geq a^2 \] Suy ra: \[ x \leq 3 - a^2 \] Kiểm tra từng đáp án: a) Điều kiện xác định của bất phương trình là \(x \leq 3\): - Sai vì điều kiện xác định đúng là \(x < 3\). b) Với \(a = 3\) thì \(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình: - Với \(a = 3\), ta có: \[ \log_3(-x + 3) \leq 2 \] Điều kiện xác định: \[ x < 3 \] Bất phương trình: \[ -x + 3 \leq 9 \implies x \geq -6 \] Kết hợp điều kiện xác định: \[ -6 \leq x < 3 \] Vậy \(x = 0\) nằm trong khoảng nghiệm này, nên đúng. c) Với \(a = 2\) thì bất phương trình có nghiệm là \(x \geq -1\): - Với \(a = 2\), ta có: \[ \log_2(-x + 3) \leq 2 \] Điều kiện xác định: \[ x < 3 \] Bất phương trình: \[ -x + 3 \leq 4 \implies x \geq -1 \] Kết hợp điều kiện xác định: \[ -1 \leq x < 3 \] Vậy đúng. d) Với \(a = \frac{1}{2}\) thì bất phương trình có nghiệm là \(x \leq \frac{11}{12}\): - Với \(a = \frac{1}{2}\), ta có: \[ \log_{\frac{1}{2}}(-x + 3) \leq 2 \] Điều kiện xác định: \[ x < 3 \] Bất phương trình: \[ -x + 3 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \implies -x + 3 \geq \frac{1}{4} \implies x \leq \frac{11}{4} \] Kết hợp điều kiện xác định: \[ x < 3 \] Vậy sai vì \(x \leq \frac{11}{4}\) không đúng. Kết luận: Các đáp án đúng là: - b) Với \(a = 3\) thì \(x = 0\) là một nghiệm của bất phương trình. - c) Với \(a = 2\) thì bất phương trình có nghiệm là \(x \geq -1\). Câu 16: Câu hỏi: Một người gửi tiết kiệm 10 tỉ đồng theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng với lãi suất 7% một năm và lãi hằng năm được nhập vào vốn. Khi đó: a) Số tiền người đó nhận được sau n năm là $T=10^{00}-1,07^0$ b) Sau 1 năm số tiền người đó nhận được lớn hơn $T=107.10^7.$ c) Sau 2 năm người đó nhận được số tiền ít hơn 11 tỉ đồng. d) Sau ít nhất 3 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: a) Số tiền người đó nhận được sau n năm là $T=10^{00}-1,07^0$ Điều này không đúng vì công thức tính số tiền nhận được sau n năm trong lãi kép là: \[ T = P(1 + r)^n \] Trong đó: - \( P \) là số tiền ban đầu (10 tỉ đồng), - \( r \) là lãi suất hàng năm (0.07), - \( n \) là số năm. Do đó, số tiền người đó nhận được sau n năm là: \[ T = 10 \times 10^9 \times (1 + 0.07)^n = 10 \times 10^9 \times 1.07^n \] b) Sau 1 năm số tiền người đó nhận được lớn hơn $T=107.10^7.$ Sau 1 năm, số tiền người đó nhận được là: \[ T = 10 \times 10^9 \times 1.07 = 10.7 \times 10^9 = 107 \times 10^7 \] Điều này đúng vì số tiền nhận được sau 1 năm là 107 triệu đồng. c) Sau 2 năm người đó nhận được số tiền ít hơn 11 tỉ đồng. Sau 2 năm, số tiền người đó nhận được là: \[ T = 10 \times 10^9 \times 1.07^2 = 10 \times 10^9 \times 1.1449 = 11.449 \times 10^9 \] Điều này sai vì số tiền nhận được sau 2 năm là 11.449 tỉ đồng, lớn hơn 11 tỉ đồng. d) Sau ít nhất 3 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng. Sau 3 năm, số tiền người đó nhận được là: \[ T = 10 \times 10^9 \times 1.07^3 = 10 \times 10^9 \times 1.225043 = 12.25043 \times 10^9 \] Điều này đúng vì số tiền nhận được sau 3 năm là 12.25043 tỉ đồng, lớn hơn 12 tỉ đồng. Đáp án: d) Sau ít nhất 3 năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 12 tỉ đồng. Câu 17: Để tính giá trị của biểu thức \( P = \log_{\frac{5}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( b \): - Ta biết rằng \( \log_2 b = \sqrt{3} \). Do đó, \( b = 2^{\sqrt{3}} \). 2. Thay giá trị của \( b \) vào biểu thức \( P \): - Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \log_{\frac{5}{a}} \sqrt{\frac{2^{\sqrt{3}}}{a}} \] 3. Sử dụng công thức lôgarit để đơn giản hóa biểu thức: - Ta có: \[ \sqrt{\frac{2^{\sqrt{3}}}{a}} = \left( \frac{2^{\sqrt{3}}}{a} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{(2^{\sqrt{3}})^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} \] - Do đó: \[ P = \log_{\frac{5}{a}} \left( \frac{2^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} \right) \] 4. Áp dụng công thức lôgarit tổng quát: - Ta có: \[ P = \log_{\frac{5}{a}} \left( 2^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} \right) \] - Áp dụng công thức \( \log_b(xy) = \log_b x + \log_b y \): \[ P = \log_{\frac{5}{a}} \left( 2^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) + \log_{\frac{5}{a}} \left( a^{-\frac{1}{2}} \right) \] 5. Tính từng phần riêng lẻ: - Ta có: \[ \log_{\frac{5}{a}} \left( 2^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \log_{\frac{5}{a}} 2 \] - Và: \[ \log_{\frac{5}{a}} \left( a^{-\frac{1}{2}} \right) = -\frac{1}{2} \log_{\frac{5}{a}} a \] 6. Tổng hợp lại: - Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \frac{\sqrt{3}}{2} \log_{\frac{5}{a}} 2 - \frac{1}{2} \log_{\frac{5}{a}} a \] 7. Lập luận về giá trị của \( \log_{\frac{5}{a}} 2 \) và \( \log_{\frac{5}{a}} a \): - Ta biết rằng \( \log_{\frac{5}{a}} a = \frac{\log a}{\log \frac{5}{a}} = \frac{\log a}{\log 5 - \log a} \). - Do đó: \[ \log_{\frac{5}{a}} 2 = \frac{\log 2}{\log 5 - \log a} \] 8. Thay vào biểu thức: - Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\log 2}{\log 5 - \log a} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\log a}{\log 5 - \log a} \] - Kết hợp các phân số: \[ P = \frac{\sqrt{3} \log 2 - \log a}{2 (\log 5 - \log a)} \] 9. Làm tròn đến hàng phần mười: - Ta biết rằng \( \log 2 \approx 0.3010 \), \( \log 5 \approx 0.6990 \), và \( \sqrt{3} \approx 1.732 \). - Thay vào biểu thức: \[ P \approx \frac{1.732 \cdot 0.3010 - \log a}{2 (0.6990 - \log a)} \] - Giả sử \( \log a = x \), ta có: \[ P \approx \frac{0.521332 - x}{2 (0.6990 - x)} \] 10. Kết luận: - Để làm tròn đến hàng phần mười, ta cần biết giá trị cụ thể của \( \log a \). Tuy nhiên, nếu không có thông tin thêm về \( a \), ta có thể giữ biểu thức trên. Do đó, giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P \approx \frac{0.521332 - \log a}{2 (0.6990 - \log a)} \] Đáp số: \( P \approx \frac{0.521332 - \log a}{2 (0.6990 - \log a)} \) Câu 18: Để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30%, ta cần: \[ P(n) > 0.3 \] Thay vào công thức \( P(n) = \frac{1}{1 + 49e^{-431n}} \): \[ \frac{1}{1 + 49e^{-431n}} > 0.3 \] Chuyển vế và biến đổi: \[ 1 > 0.3(1 + 49e^{-431n}) \] \[ 1 > 0.3 + 14.7e^{-431n} \] \[ 1 - 0.3 > 14.7e^{-431n} \] \[ 0.7 > 14.7e^{-431n} \] \[ \frac{0.7}{14.7} > e^{-431n} \] \[ \frac{1}{21} > e^{-431n} \] Lấy logarit tự nhiên hai vế: \[ \ln\left(\frac{1}{21}\right) > -431n \] \[ -\ln(21) > -431n \] \[ \ln(21) < 431n \] \[ n > \frac{\ln(21)}{431} \] Tính giá trị của \( \frac{\ln(21)}{431} \): \[ \ln(21) \approx 3.044522 \] \[ \frac{\ln(21)}{431} \approx \frac{3.044522}{431} \approx 0.007064 \] Do đó, \( n \) cần lớn hơn 0.007064. Vì \( n \) là số lần quảng cáo nên phải là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này, tức là \( n = 1 \). Vậy cần phát ít nhất 1 lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 30%. Câu 19: Để tính số tiền ông An nhận được sau 5 năm 8 tháng với hình thức lãi kép, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số tiền sau mỗi kỳ hạn 6 tháng: - Lãi suất 6 tháng là $\frac{8\%}{2} = 4\%$. - Số kỳ hạn trong 5 năm 8 tháng là $\frac{5 \times 12 + 8}{6} = 11$ kỳ hạn. 2. Áp dụng công thức lãi kép: - Công thức lãi kép: \( A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n \) - Trong đó: - \( P \) là số tiền ban đầu (200 triệu đồng). - \( r \) là lãi suất kỳ hạn (4%). - \( n \) là số kỳ hạn (11). 3. Thực hiện phép tính: \[ A = 200 \times \left(1 + \frac{4}{100}\right)^{11} \] \[ A = 200 \times (1.04)^{11} \] 4. Tính giá trị của \( (1.04)^{11} \): \[ (1.04)^{11} \approx 1.539 \] 5. Tính số tiền cuối cùng: \[ A = 200 \times 1.539 \approx 307.8 \text{ triệu đồng} \] 6. Làm tròn đến hàng triệu: \[ A \approx 308 \text{ triệu đồng} \] Vậy sau 5 năm 8 tháng, ông An nhận được số tiền cả gốc và lãi là 308 triệu đồng. Câu 20: Để giải phương trình $5^{2+6x+4} + 5^{2^{2-6x+6}} - 5^{2x^2-6x+6} + 1 = 0$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình đã cho không chứa các ràng buộc đặc biệt về biến số \(x\), do đó ĐKXĐ là \(x \in \mathbb{R}\). Bước 2: Biến đổi phương trình Ta viết lại phương trình: \[ 5^{2+6x+4} + 5^{2^{2-6x+6}} - 5^{2x^2-6x+6} + 1 = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình Nhận thấy rằng phương trình này khá phức tạp để giải trực tiếp, ta thử thay các giá trị đơn giản vào phương trình để tìm nghiệm. Thử \(x = 0\): \[ 5^{2+6(0)+4} + 5^{2^{2-6(0)+6}} - 5^{2(0)^2-6(0)+6} + 1 = 5^6 + 5^{2^8} - 5^6 + 1 \neq 0 \] Do đó, \(x = 0\) không phải là nghiệm. Thử \(x = 1\): \[ 5^{2+6(1)+4} + 5^{2^{2-6(1)+6}} - 5^{2(1)^2-6(1)+6} + 1 = 5^{12} + 5^{2^2} - 5^2 + 1 \neq 0 \] Do đó, \(x = 1\) không phải là nghiệm. Thử \(x = -1\): \[ 5^{2+6(-1)+4} + 5^{2^{2-6(-1)+6}} - 5^{2(-1)^2-6(-1)+6} + 1 = 5^0 + 5^{2^8} - 5^{14} + 1 \neq 0 \] Do đó, \(x = -1\) không phải là nghiệm. Thử \(x = 2\): \[ 5^{2+6(2)+4} + 5^{2^{2-6(2)+6}} - 5^{2(2)^2-6(2)+6} + 1 = 5^{16} + 5^{2^2} - 5^2 + 1 \neq 0 \] Do đó, \(x = 2\) không phải là nghiệm. Thử \(x = -2\): \[ 5^{2+6(-2)+4} + 5^{2^{2-6(-2)+6}} - 5^{2(-2)^2-6(-2)+6} + 1 = 5^{-6} + 5^{2^8} - 5^{22} + 1 \neq 0 \] Do đó, \(x = -2\) không phải là nghiệm. Thử \(x = \frac{1}{2}\): \[ 5^{2+6(\frac{1}{2})+4} + 5^{2^{2-6(\frac{1}{2})+6}} - 5^{2(\frac{1}{2})^2-6(\frac{1}{2})+6} + 1 = 5^7 + 5^{2^4} - 5^4 + 1 \neq 0 \] Do đó, \(x = \frac{1}{2}\) không phải là nghiệm. Thử \(x = -\frac{1}{2}\): \[ 5^{2+6(-\frac{1}{2})+4} + 5^{2^{2-6(-\frac{1}{2})+6}} - 5^{2(-\frac{1}{2})^2-6(-\frac{1}{2})+6} + 1 = 5^3 + 5^{2^4} - 5^4 + 1 \neq 0 \] Do đó, \(x = -\frac{1}{2}\) không phải là nghiệm. Sau khi thử các giá trị đơn giản, ta nhận thấy rằng phương trình này không dễ dàng tìm nghiệm trực tiếp. Do đó, ta cần áp dụng phương pháp khác hoặc sử dụng công cụ hỗ trợ để tìm nghiệm chính xác hơn. Tuy nhiên, nếu giả sử phương trình có nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), thì tổng các nghiệm \(T = x_1 + x_2\). Vì phương trình ban đầu không dễ dàng tìm nghiệm trực tiếp, ta có thể kết luận rằng phương trình này có thể không có nghiệm thực hoặc nghiệm phức tạp hơn. Do đó, ta cần thêm thông tin hoặc phương pháp khác để giải quyết hoàn chỉnh. Kết luận: Phương trình \(5^{2+6x+4} + 5^{2^{2-6x+6}} - 5^{2x^2-6x+6} + 1 = 0\) có thể không có nghiệm thực hoặc nghiệm phức tạp hơn. Vì vậy, tổng các nghiệm \(T\) không thể xác định chính xác từ phương pháp thử nghiệm đơn giản trên. Câu 21: Đặt $a=\sqrt{x-2},\text\ b=\sqrt{y+3}\text\ (a,b\ge 0).$ Ta có $x={a}^{2}+2,\text\ y={b}^{2}-3.$ Thay vào ta được ${a}^{2}+{b}^{2}+2a+2b-3=0\Leftrightarrow {(a+1)}^{2}+{(b+1)}^{2}=5.$ Đặt $a+1=\sqrt{5}\cos t,\text\ b+1=\sqrt{5}\sin t,\text\ t\in [0;2\pi ).$ Ta có $x+y+4=({a}^{2}+2)+({b}^{2}-3)+4={a}^{2}+{b}^{2}+3={(a+1)}^{2}+{(b+1)}^{2}-2(a+b)-1=5-2(\sqrt{5}\cos t+\sqrt{5}\sin t)-1=4-2\sqrt{10}\sin (t+\frac{\pi }{4})\le 4+2\sqrt{10}.$ Dấu bằng xảy ra khi $\sin (t+\frac{\pi }{4})=-1\Leftrightarrow t=\frac{5\pi }{4}.$ $x+y+1=({a}^{2}+2)+({b}^{2}-3)+1={a}^{2}+{b}^{2}=5-2(a+b)=5-2(\sqrt{5}\cos t+\sqrt{5}\sin t)=5-2\sqrt{10}\sin (t+\frac{\pi }{4})\le 5+2\sqrt{10}.$ Dấu bằng xảy ra khi $\sin (t+\frac{\pi }{4})=-1\Leftrightarrow t=\frac{5\pi }{4}.$ $x^2+y^2=({a}^{2}+2)^2+({b}^{2}-3)^2={a}^{4}+4{a}^{2}+4+{b}^{4}-6{b}^{2}+9={a}^{4}+{b}^{4}+4{a}^{2}-6{b}^{2}+13=(5-2(a+b))^2+4{a}^{2}-6{b}^{2}+13=25-20(a+b)+4(a+b)^2+4{a}^{2}-6{b}^{2}+13=38-20(a+b)+4{a}^{2}+4{b}^{2}+8ab-6{b}^{2}=38-20(a+b)+2{a}^{2}+2{b}^{2}+8ab=38-20(a+b)+2(5-2(a+b))+8ab=48-24(a+b)+8ab=48-24(a+b)+8((a+1)-1)((b+1)-1)=48-24(a+b)+8(\sqrt{5}\cos t-1)(\sqrt{5}\sin t-1)=48-24(a+b)+8(5\cos t\sin t-\sqrt{5}\cos t-\sqrt{5}\sin t+1)=48-24(a+b)+40\cos t\sin t-8\sqrt{5}\cos t-8\sqrt{5}\sin t+8=56-24(a+b)+20\sin 2t-8\sqrt{5}(\cos t+\sin t)\ge 56-24(a+b)+20\sin 2t-8\sqrt{5}\times 2=28-24(a+b)+20\sin 2t=28-24(\sqrt{5}\cos t+\sqrt{5}\sin t)+20\sin 2t=28-24\sqrt{5}(\cos t+\sin t)+20\sin 2t=28-24\sqrt{5}\times \sqrt{2}\sin (t+\frac{\pi }{4})+20\sin 2t=28-24\sqrt{10}\sin (t+\frac{\pi }{4})+20\sin 2t\ge 28-24\sqrt{10}+20\times (-1)=8-24\sqrt{10}.$ Dấu bằng xảy ra khi $\sin (t+\frac{\pi }{4})=1$ và $\sin 2t=-1\Leftrightarrow t=\frac{3\pi }{4}.$ Vậy $S=3^{(x+y+4}+(x+y+1)2^{7x+y}-3(x^2+y^2)\le 3^{4+2\sqrt{10}}+(5+2\sqrt{10})2^{7\times 4+2\sqrt{10}-3}-3(8-24\sqrt{10})=3^{4+2\sqrt{10}}+(5+2\sqrt{10})2^{25+2\sqrt{10}}-24+72\sqrt{10}=\frac{3^{4+2\sqrt{10}}+2^{25+2\sqrt{10}}+72\sqrt{10}-24}{1}=\frac{a}{b}.$ Vậy $P=a+2b=3^{4+2\sqrt{10}}+2^{25+2\sqrt{10}}+72\sqrt{10}-24+2\times 1=3^{4+2\sqrt{10}}+2^{25+2\sqrt{10}}+72\sqrt{10}-22.$