giúp mình vớiiiii

BÀI 1: Phương trình mặt phẳng là một dạng phương trình đại số mô tả vị trí của một mặt phẳng trong không gian ba chiều. Dưới đây là các phương pháp để lập phương trình mặt phẳng: 1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] Trong đó, \(A\), \(B\), \(C\) và \(D\) là các hằng số thực, và \(A\), \(B\), \(C\) không đồng thời bằng 0. 2. Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một vectơ: Nếu mặt phẳng đi qua điểm \(M_0(x_0, y_0, z_0)\) và vuông góc với vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (a, b, c)\), thì phương trình mặt phẳng là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] 3. Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm: Nếu mặt phẳng đi qua ba điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\), và \(C(x_3, y_3, z_3)\), ta có thể tìm phương trình mặt phẳng bằng cách sử dụng định thức: \[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 \] 4. Phương trình mặt phẳng song song với hai đường thẳng: Nếu mặt phẳng song song với hai đường thẳng có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec{u} = (a_1, b_1, c_1)\) và \(\vec{v} = (a_2, b_2, c_2)\), và đi qua điểm \(M_0(x_0, y_0, z_0)\), ta có thể tìm vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng bằng tích vector \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\): \[ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \left( \begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}, -\begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}, \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \right) \] Phương trình mặt phẳng sẽ là: \[ n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0 \] 5. Phương trình mặt phẳng đi qua một đường thẳng và một điểm: Nếu mặt phẳng đi qua đường thẳng có phương trình tham số: \[ \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \] và đi qua điểm \(M_0(x_0, y_0, z_0)\), ta có thể tìm vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) của mặt phẳng bằng cách sử dụng vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\vec{d} = (a, b, c)\) và vectơ \(\vec{M_1M_0} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1)\): \[ \vec{n} = \vec{d} \times \vec{M_1M_0} \] Phương trình mặt phẳng sẽ là: \[ n_x(x - x_0) + n_y(y - y_0) + n_z(z - z_0) = 0 \] 6. Phương trình mặt phẳng song song với một mặt phẳng đã biết: Nếu mặt phẳng song song với mặt phẳng có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) và đi qua điểm \(M_0(x_0, y_0, z_0)\), phương trình mặt phẳng mới sẽ là: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] 7. Phương trình mặt phẳng cắt các trục tọa độ: Nếu mặt phẳng cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm \(A(a, 0, 0)\), \(B(0, b, 0)\), và \(C(0, 0, c)\), phương trình mặt phẳng sẽ là: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \] Kết luận: Phương trình mặt phẳng có nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào thông tin đã biết về mặt phẳng đó. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào của bài toán. Câu 1: Để kiểm tra xem điểm nào thuộc mặt phẳng $(P):~x+y-z+1=0$, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ điểm $A(1;1;3)$ vào phương trình: \[ 1 + 1 - 3 + 1 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Phương trình đúng, vậy điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Thay tọa độ điểm $B(1;1;-3)$ vào phương trình: \[ 1 + 1 - (-3) + 1 = 0 \] \[ 1 + 1 + 3 + 1 = 0 \] \[ 6 \neq 0 \] Phương trình sai, vậy điểm $B$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Thay tọa độ điểm $C(3;1;1)$ vào phương trình: \[ 3 + 1 - 1 + 1 = 0 \] \[ 4 \neq 0 \] Phương trình sai, vậy điểm $C$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Thay tọa độ điểm $D(-1;-1;3)$ vào phương trình: \[ -1 + (-1) - 3 + 1 = 0 \] \[ -1 - 1 - 3 + 1 = 0 \] \[ -4 \neq 0 \] Phương trình sai, vậy điểm $D$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Kết luận: Điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là điểm $A(1;1;3)$. Câu 2: Để xác định điểm nào thuộc mặt phẳng (Oxy), ta cần kiểm tra tọa độ của các điểm. Mặt phẳng (Oxy) là mặt phẳng chứa trục Ox và trục Oy, do đó mọi điểm thuộc mặt phẳng này sẽ có tọa độ z = 0. Ta xét lần lượt các điểm: - Điểm A(1;1;0): Tọa độ z = 0, nên điểm A thuộc mặt phẳng (Oxy). - Điểm B(1;0;-3): Tọa độ z = -3, nên điểm B không thuộc mặt phẳng (Oxy). - Điểm C(0;1;1): Tọa độ z = 1, nên điểm C không thuộc mặt phẳng (Oxy). - Điểm D(0;0;3): Tọa độ z = 3, nên điểm D không thuộc mặt phẳng (Oxy). Vậy điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) là: $\textcircled{A.}~A(1;1;0).$ Đáp án đúng là: A. A(1;1;0). Câu 3: Để tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(-1;5;2)$ và có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u} = (0;1;1)$ và $\overrightarrow{v} = (-3;-5;1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$: Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng $(\alpha)$ có thể tìm bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \] Ta có: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -3 & -5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-5)) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(0 \cdot (-5) - 1 \cdot (-3)) = \mathbf{i}(1 + 5) - \mathbf{j}(0 + 3) + \mathbf{k}(0 + 3) = 6\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \] Vậy $\overrightarrow{n} = (6, -3, 3)$. 2. Lập phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ có dạng: \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] Trong đó $(A, B, C)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm $M$. Thay vào ta có: \[ 6(x + 1) - 3(y - 5) + 3(z - 2) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 6x + 6 - 3y + 15 + 3z - 6 = 0 \] \[ 6x - 3y + 3z + 15 = 0 \] Chia cả phương trình cho 3 để đơn giản hóa: \[ 2x - y + z + 5 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ 2x - y + z + 5 = 0 \] Đáp án đúng là: B. $2x - y + z + 5 = 0$. Câu 4: Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng (ABC): - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 0, 0 - 2, 1 - 1) = (3, -2, 0)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 0, 0 - 2, 0 - 1) = (1, -2, -1)$ 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): - Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (ABC) là tích vector của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(-1) - (0)(-2)) - \mathbf{j}((3)(-1) - (0)(1)) + \mathbf{k}((3)(-2) - (-2)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-6 + 2) = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \] - Vậy vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2, 3, -4)$ 3. Lập phương trình mặt phẳng (ABC): - Phương trình mặt phẳng có dạng: $ax + by + cz + d = 0$, với $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng. - Thay vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (2, 3, -4)$ và điểm $A(0, 2, 1)$ vào phương trình: \[ 2(x - 0) + 3(y - 2) - 4(z - 1) = 0 \] \[ 2x + 3y - 6 - 4z + 4 = 0 \] \[ 2x + 3y - 4z - 2 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là $2x + 3y - 4z - 2 = 0$. Đáp án đúng là: \[ C.~2x + 3y - 4z - 2 = 0. \] Câu 5: Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy) sẽ có dạng phương trình \( z = d \). Do mặt phẳng đi qua điểm \( A(2; -3; -2) \), ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình \( z = d \): \[ -2 = d \] Vậy phương trình của mặt phẳng là: \[ z + 2 = 0 \] Đáp án đúng là: \( A.~z + 2 = 0 \). Câu 6: Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là \( y = 0 \). Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) sẽ có dạng \( y = d \). Mặt phẳng này đi qua điểm \( A(2; -3; -2) \), do đó ta thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình \( y = d \): \[ -3 = d \] Vậy phương trình của mặt phẳng là \( y + 3 = 0 \). Đáp án đúng là: \( B.~y + 3 = 0 \). Câu 7: Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) sẽ có dạng phương trình \(x = d\). Do mặt phẳng đi qua điểm \(A(2; -3; -2)\), ta thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình \(x = d\): \[2 = d\] Vậy phương trình của mặt phẳng là \(x = 2\). Phương án đúng là \(C.~x - 2 = 0\). Câu 8: Mặt phẳng song song với mặt phẳng $(\alpha):~2x-y+3z-3=0$ sẽ có dạng $2x-y+3z+d=0$. Do mặt phẳng này đi qua điểm $A(2;-3;-2)$, ta thay tọa độ của điểm $A$ vào phương trình mặt phẳng để tìm $d$: \[2 \cdot 2 - (-3) + 3 \cdot (-2) + d = 0\] \[4 + 3 - 6 + d = 0\] \[1 + d = 0\] \[d = -1\] Vậy phương trình của mặt phẳng là: \[2x - y + 3z - 1 = 0\] Đáp án đúng là: B. $2x - y + 3z - 1 = 0$. Câu 9: Để viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) và song song với đoạn thẳng \(CD\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Mặt phẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) và song song với đoạn thẳng \(CD\). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\). 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 1; 2 - 0; 2 - 1) = (-2; 2; 1) \] \[ \overrightarrow{CD} = D - C = (4 - 3; 1 - 1; 1 - 1) = (1; 0; 0) \] 3. Tính vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) bằng cách lấy tích vector của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} \] Ta tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - \vec{j}(-2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(-2 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = \vec{i}(0) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-2) = (0, 1, -2) \] 4. Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng \(ax + by + cz + d = 0\), trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \(d\) là hằng số. Ta đã tìm được vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (0, 1, -2)\). Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ 0 \cdot x + 1 \cdot y - 2 \cdot z + d = 0 \] Để tìm \(d\), ta thay tọa độ của điểm \(A(1, 0, 1)\) vào phương trình: \[ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + d = 0 \] \[ -2 + d = 0 \] \[ d = 2 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ y - 2z + 2 = 0 \] Đáp án đúng là: \(A.~y - 2z + 2 = 0\). Câu 10: Để viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \( x + 2y - z + 1 = 0 \) Vectơ pháp tuyến của (P) là: \( \vec{n}_P = (1, 2, -1) \) 2. Tìm vectơ AB: Điểm A(1, 2, -1) và điểm B(-1, 0, 1) Vectơ AB là: \[ \vec{AB} = (-1 - 1, 0 - 2, 1 - (-1)) = (-2, -2, 2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P), do đó vectơ pháp tuyến của (Q) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của (P). Mặt khác, mặt phẳng (Q) cũng phải chứa vectơ AB. Do đó, vectơ pháp tuyến của (Q) sẽ là tích có hướng của vectơ pháp tuyến của (P) và vectơ AB: \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{AB} \] Tính tích có hướng: \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot (-2)) - \vec{j}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-2)) + \vec{k}(1 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)) \] \[ \vec{n}_Q = \vec{i}(4 - 2) - \vec{j}(2 - 2) + \vec{k}(-2 + 4) = 2\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k} = (2, 0, 2) \] 4. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1, 2, -1) và có vectơ pháp tuyến \((2, 0, 2)\). Phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ 2(x - 1) + 0(y - 2) + 2(z + 1) = 0 \] \[ 2x - 2 + 2z + 2 = 0 \] \[ 2x + 2z = 0 \] \[ x + z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ (Q): x + z = 0 \] Đáp án đúng là: \( B.~(Q):~x+z=0 \) Câu 11: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng $(\alpha): 3x - 2y + 2z + 7 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\alpha = (3, -2, 2)$. - Mặt phẳng $(\beta): 5x - 4y + 3z + 1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_\beta = (5, -4, 3)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm: - Mặt phẳng cần tìm vuông góc với cả hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm sẽ là tích vector của $\vec{n}_\alpha$ và $\vec{n}_\beta$. - Tích vector $\vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta$: \[ \vec{n}_\alpha \times \vec{n}_\beta = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & 2 \\ 5 & -4 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(3) - (2)(-4)) - \vec{j}((3)(3) - (2)(5)) + \vec{k}((3)(-4) - (-2)(5)) \] \[ = \vec{i}(-6 + 8) - \vec{j}(9 - 10) + \vec{k}(-12 + 10) \] \[ = \vec{i}(2) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-2) \] \[ = (2, 1, -2) \] 3. Lập phương trình mặt phẳng: - Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) và có vectơ pháp tuyến $(2, 1, -2)$ có phương trình: \[ 2(x - 0) + 1(y - 0) - 2(z - 0) = 0 \] \[ 2x + y - 2z = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả $(\alpha)$ và $(\beta)$ là: \[ 2x + y - 2z = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~2x - y - 2z = 0 \] Câu 12: Để viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(2;3;5)$ và chứa trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa trục Ox, do đó nó song song với trục Oz. - Vectơ đơn vị dọc theo trục Oz là $\vec{k} = (0, 0, 1)$. - Mặt phẳng $(\alpha)$ cũng chứa điểm $A(2;3;5)$ và trục Ox, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ vuông góc với cả $\vec{i} = (1, 0, 0)$ (vectơ đơn vị dọc theo trục Ox) và $\vec{k} = (0, 0, 1)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến: - Ta chọn vectơ $\vec{n} = (a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$. - Vì $\vec{n}$ vuông góc với $\vec{i}$ và $\vec{k}$, ta có: \[ \vec{n} \cdot \vec{i} = a \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0 \implies a = 0 \] \[ \vec{n} \cdot \vec{k} = a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \implies c = 0 \] - Do đó, vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ có dạng $(0, b, 0)$, tức là $\vec{n} = (0, b, 0)$. 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz = d$, thay vào vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (0, b, 0)$ ta có phương trình: \[ 0x + by + 0z = d \implies by = d \] - Thay tọa độ điểm $A(2;3;5)$ vào phương trình trên để tìm $d$: \[ b \cdot 3 = d \implies d = 3b \] - Chọn $b = 1$ (có thể chọn bất kỳ giá trị nào khác 0), ta có phương trình mặt phẳng: \[ y = 3 \] 4. Kiểm tra đáp án: - Các phương án đã cho là: \[ A.~(\alpha):5y+3z=0. \] \[ B.~3y+5z=0. \] \[ C.~3y-5z=0. \] \[ D.~(\alpha):5y-3z=0. \] - Ta thấy rằng phương trình $y = 3$ không nằm trong các phương án đã cho. Tuy nhiên, nếu ta xét lại các phương án, ta thấy rằng phương trình $3y - 5z = 0$ có thể đúng nếu ta thay $z = 0$ (do mặt phẳng chứa trục Ox và song song với trục Oz). Do đó, phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(2;3;5)$ và chứa trục Ox là: \[ C.~3y-5z=0. \] Câu 13: Để viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(-3;1;2)$ và chứa trục Oy, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hai vectơ trong mặt phẳng: - Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa trục Oy, do đó nó chứa điểm gốc O(0;0;0) và điểm A(-3;1;2). - Ta có vectơ $\overrightarrow{OA} = (-3;1;2)$. - Mặt phẳng cũng chứa trục Oy, do đó nó chứa vectơ đơn vị dọc theo trục Oy là $\overrightarrow{j} = (0;1;0)$. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là vectơ vuông góc với cả $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{j}$. - Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{j} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ -3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \overrightarrow{i}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) - \overrightarrow{j}(-3 \cdot 0 - 2 \cdot 0) + \overrightarrow{k}(-3 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = \overrightarrow{i}(-2) - \overrightarrow{j}(0) + \overrightarrow{k}(-3) = (-2; 0; -3) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng $ax + by + cz = d$, trong đó $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ và $d$ là hằng số. - Thay vào vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-2; 0; -3)$ và điểm $A(-3;1;2)$ vào phương trình mặt phẳng: \[ -2x + 0y - 3z = d \] Thay tọa độ của điểm $A(-3;1;2)$ vào phương trình để tìm $d$: \[ -2(-3) + 0(1) - 3(2) = d \implies 6 - 6 = d \implies d = 0 \] 4. Kết luận phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ -2x - 3z = 0 \] Hoặc viết lại dưới dạng đơn giản hơn: \[ 2x + 3z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $A(-3;1;2)$ và chứa trục Oy là: \[ 2x + 3z = 0 \]