Câu 1:
Để tính xác suất để viên bi lấy ra được đánh số, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tính số lượng viên bi xanh và số lượng viên bi đen trong hộp:
- Số lượng viên bi xanh chiếm 60% tổng số viên bi trong hộp:
- Số lượng viên bi còn lại (không phải màu xanh) chiếm 40% tổng số viên bi trong hộp:
- Trong số viên bi còn lại, 40% là màu đen:
2. Tính số lượng viên bi xanh được đánh số và số lượng viên bi đen được đánh số:
- Số lượng viên bi xanh được đánh số chiếm 50% số viên bi xanh:
- Số lượng viên bi đen được đánh số chiếm 75% số viên bi đen:
3. Tính tổng số lượng viên bi được đánh số:
4. Tính xác suất để viên bi lấy ra được đánh số:
Xác suất để viên bi lấy ra được đánh số là tỷ lệ giữa số lượng viên bi được đánh số và tổng số lượng viên bi trong hộp:
Vậy xác suất để viên bi lấy ra được đánh số là .
Câu 2:
Để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, ta sẽ tìm tọa độ của điểm M trên trục Oy sao cho biểu thức này nhỏ nhất.
Giả sử tọa độ của điểm M là .
Tính khoảng cách từ M đến A:
Tính khoảng cách từ M đến B:
Biểu thức cần tối thiểu là:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , ta sử dụng đạo hàm:
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu:
Vậy, để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, tung độ của M là 0.75.
Đáp số: 0.75
Câu 3:
Để vận động viên bắn trúng hồng tâm, điểm A phải nằm trên đường thẳng d. Ta sẽ kiểm tra điều kiện này bằng cách thay tọa độ của điểm A vào phương trình của đường thẳng d.
Phương trình của đường thẳng d là:
Trong đó, t là tham số. Ta có:
Thay tọa độ của điểm A(8, -19, 6m + 4) vào phương trình trên:
Vậy để vận động viên bắn trúng hồng tâm, giá trị của m phải là:
Câu 4:
Để tính lợi nhuận tăng thêm khi doanh số tăng từ 50 lên 55 đơn vị sản phẩm, ta cần tính sự thay đổi của lợi nhuận khi thay đổi từ 50 đến 55.
Bước 1: Tính
Bước 2: Tính
Bước 3: Tính sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 đến 55 đơn vị
Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 đến 55 đơn vị:
Tuy nhiên, để tính chính xác hơn, ta có thể sử dụng phương pháp tích phân để tính tổng lợi nhuận tăng thêm trong khoảng từ 50 đến 55 đơn vị sản phẩm.
Bước 4: Tích phân từ 50 đến 55
Vậy lợi nhuận tăng thêm khi doanh số tăng từ 50 lên 55 đơn vị sản phẩm là 51,79 triệu đồng (làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp số: 51,8 triệu đồng.
Câu 1:
a) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm của BC.
Tọa độ của điểm M là:
b) Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và M có dạng:
Thay tọa độ của điểm A(1, -2, 0) và M(1, -1, 2) vào phương trình trên:
Do , phương trình này không có dạng chuẩn. Ta viết lại dưới dạng tham số:
Vậy phương trình đường trung tuyến AM là:
Đáp số:
a) Tọa độ điểm M là
b) Phương trình đường trung tuyến AM là:
Câu 2:
Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm giao điểm của (C) và (d):
- Phương trình của đường thẳng (d) là .
- Phương trình của đường cong (C) là .
Vì (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ bằng 1, ta thay vào cả hai phương trình:
Vậy phương trình của đường thẳng (d) là .
2. Xác định miền tích phân:
- Hình phẳng (H) giới hạn bởi , và trục Oy.
- Để tìm giao điểm của và :
Ta thấy rằng là nghiệm duy nhất của phương trình này.
Do đó, miền tích phân là từ đến .
3. Tính thể tích V của khối tròn xoay:
- Thể tích V của khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi nó quay quanh trục Ox được tính bằng công thức:
Trong đó, là khoảng cách từ đường cong đến trục Ox.
- Ta có hai đường cong và . Khi quay quanh trục Ox, diện tích giữa hai đường cong tạo thành một hình tròn với bán kính là khoảng cách từ mỗi đường cong đến trục Ox.
- Thể tích V là:
4. Tính tích phân:
Ta chia tích phân thành các phần riêng lẻ:
- Tính từng phần:
- Kết hợp lại:
- Đơn giản hóa:
- Kết quả cuối cùng:
Đáp số:
Câu 3:
Gọi số học sinh nam là .
Số học sinh nữ là 16.
Tổng số học sinh trong lớp là .
Xác suất để chọn được hai bạn nữ là:
Ta có:
Do đó:
Bằng cách nhân cả hai vế với :
Nhân cả hai vế với 62:
Chia cả hai vế cho 15:
Nhân cả hai vế với 2:
Phát triển biểu thức:
Rearrange thành phương trình bậc hai:
Giải phương trình bậc hai này bằng công thức:
Ở đây, , , :
Có hai nghiệm:
(loại vì số học sinh không thể âm)
Vậy số học sinh nam là 16.
Tổng số học sinh trong lớp là:
Đáp số: 32 học sinh.