Giải bài tập giúp mình

Câu 1: Để tìm khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AB trong hình chóp S.ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC): Vì SA vuông góc với đáy (ABC), nên khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) chính là độ dài đoạn thẳng SA. Do đó, khoảng cách này là \( SA = 2a \). 2. Xác định khoảng cách từ S đến đường thẳng AB: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian là độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng đó. Trong trường hợp này, ta hạ đường thẳng vuông góc từ S xuống AB, giao tại điểm H. 3. Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng AB: Vì SA vuông góc với đáy (ABC), nên SA cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó, khoảng cách từ S đến đường thẳng AB sẽ là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC), tức là \( SA = 2a \). Vậy khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AB là \( 2a \). Đáp án đúng là: C. 2a. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng giới hạn đã cho là định nghĩa của đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 2 \). Giả sử hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm tại điểm \( x = 2 \). Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: \[ f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2}. \] Trong bài toán, ta đã biết rằng: \[ \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = 3. \] Do đó, theo định nghĩa đạo hàm, ta suy ra: \[ f'(2) = 3. \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~f'(2) = 3. \] Câu 3: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(-\infty, -1)$, hàm số giảm từ $+\infty$ đến $f(-1)$. - Tại điểm $x = -1$, giá trị của hàm số là $f(-1) = -2$. - Trên khoảng $(-1, 1)$, hàm số tăng từ $f(-1) = -2$ đến $f(1)$. - Tại điểm $x = 1$, giá trị của hàm số là $f(1) = 1$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1, 1]$ là giá trị của hàm số tại điểm $x = -1$, tức là $f(-1) = -2$. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-1, 1]$ là $\boxed{-2}$. Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần xác định mặt phẳng mà đường thẳng BC vuông góc với nó. Trước tiên, ta biết rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại B, nghĩa là AB vuông góc với BC. Mặt khác, đường thẳng SA vuông góc với đáy ABC, do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Bây giờ, ta xét từng mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A và C. Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với AC. Tuy nhiên, BC không nằm trong mặt phẳng (SAC), do đó BC không vuông góc với (SAC). - Mặt phẳng (SBC) bao gồm các điểm S, B và C. Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với BC. Tuy nhiên, BC nằm trong mặt phẳng (SBC), do đó BC không vuông góc với (SBC). - Mặt phẳng (ABC) bao gồm các điểm A, B và C. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B, nên AB vuông góc với BC. Do đó, BC nằm trong mặt phẳng (ABC), do đó BC không vuông góc với (ABC). - Mặt phẳng (SAB) bao gồm các điểm S, A và B. Vì SA vuông góc với đáy ABC, nên SA vuông góc với AB. Mặt khác, vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B, nên AB vuông góc với BC. Do đó, BC vuông góc với cả SA và AB, suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). Vậy, đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). Đáp án đúng là: D. (SAB). Câu 5: Để tìm khoảng cách từ điểm \( A' \) đến mặt phẳng \( (BCD) \) của hình lập phương \( ABCD.A'B'C'D' \) có cạnh bằng \( a \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(a, 0, 0) \) - \( C(a, a, 0) \) - \( D(0, a, 0) \) - \( A'(0, 0, a) \) - \( B'(a, 0, a) \) - \( C'(a, a, a) \) - \( D'(0, a, a) \) 2. Xác định phương trình mặt phẳng \( (BCD) \): Mặt phẳng \( (BCD) \) đi qua các điểm \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), và \( D(0, a, 0) \). Ta thấy rằng tất cả các điểm này đều có tọa độ \( z = 0 \). Do đó, phương trình mặt phẳng \( (BCD) \) là: \[ z = 0 \] 3. Tính khoảng cách từ điểm \( A'(0, 0, a) \) đến mặt phẳng \( z = 0 \): Khoảng cách từ một điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] Trong trường hợp này, mặt phẳng \( z = 0 \) có phương trình \( 0x + 0y + 1z + 0 = 0 \). Do đó, \( A = 0 \), \( B = 0 \), \( C = 1 \), và \( D = 0 \). Thay tọa độ của điểm \( A'(0, 0, a) \) vào công thức: \[ d = \frac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot a + 0|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|a|}{1} = a \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A' \) đến mặt phẳng \( (BCD) \) là \( a \). Đáp án đúng là: B. a Câu 6: Để chọn một học sinh trong nhóm tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường, ta có thể chọn từ cả hai nhóm học sinh nam và học sinh nữ. - Số cách chọn một học sinh nam là 20 cách. - Số cách chọn một học sinh nữ là 10 cách. Vậy tổng số cách chọn một học sinh trong nhóm đó tham gia đội thanh niên tình nguyện của trường là: \[ 20 + 10 = 30 \] Đáp án đúng là: C. 30. Câu 7: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số bậc ba $y = f(x)$, ta cần dựa vào đồ thị của hàm số. Một hàm số được coi là nghịch biến trên một khoảng nếu giá trị của hàm số giảm dần khi giá trị của biến tăng lên trong khoảng đó. Trên đồ thị, ta thấy: - Từ $-\infty$ đến $x = 0$, hàm số đang tăng dần. - Từ $x = 0$ đến $x = 2$, hàm số đang giảm dần. - Từ $x = 2$ đến $+\infty$, hàm số lại tăng dần. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(0;2). \] Câu 8: Hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và các mặt bên SAB, SAC, SBC đều là các tam giác cân tại đỉnh S. Do đó, mặt bên SBC là tam giác cân tại đỉnh S. Đáp án đúng là: D. Cân.