Giải hộ mình với ạ xin cảm ơn!

Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu ta có vectơ $\overrightarrow{a} = -2\overrightarrow{i} + 3\overrightarrow{j}$, thì tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ sẽ là (-2, 3). Lý do: - Tọa độ của $\overrightarrow{i}$ là (1, 0). - Tọa độ của $\overrightarrow{j}$ là (0, 1). Do đó, tọa độ của $\overrightarrow{a}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{a} = -2 \cdot (1, 0) + 3 \cdot (0, 1) = (-2, 0) + (0, 3) = (-2, 3) \] Vậy đáp án đúng là: \[ B. (-2, 3) \] Câu 2: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ điểm B từ tọa độ điểm A. Tọa độ của điểm A là $(5; 2)$ và tọa độ của điểm B là $(10; 8)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) \] \[ \overrightarrow{AB} = (10 - 5, 8 - 2) \] \[ \overrightarrow{AB} = (5, 6) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(5, 6)$. Đáp án đúng là: $B.~(5;6)$. Câu 3: Để tìm tọa độ trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \): \[ I\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Trong đó: - \( A(2, -5) \) có \( x_1 = 2 \) và \( y_1 = -5 \) - \( B(4, 1) \) có \( x_2 = 4 \) và \( y_2 = 1 \) Áp dụng công thức trên: \[ I\left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{-5 + 1}{2}\right) \] Tính toán từng phần: \[ \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] \[ \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Vậy tọa độ trung điểm \( I \) là: \[ I(3, -2) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~I(3, -2) \] Câu 4: Để tìm tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Nếu \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), và \( C(x_3, y_3) \) là ba đỉnh của tam giác, thì tọa độ trọng tâm \( G \) sẽ là: \[ G\left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \] Áp dụng công thức này cho tam giác \( \Delta ABC \) với các đỉnh \( A(2, 1) \), \( B(-3, 0) \), và \( C(4, 2) \): - Tọa độ \( x \)-toạ độ của trọng tâm \( G \): \[ x_G = \frac{2 + (-3) + 4}{3} = \frac{2 - 3 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] - Tọa độ \( y \)-toạ độ của trọng tâm \( G \): \[ y_G = \frac{1 + 0 + 2}{3} = \frac{1 + 0 + 2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] Vậy tọa độ trọng tâm \( G \) của tam giác \( \Delta ABC \) là: \[ G(1, 1) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~G(1, 1) \] Câu 6: Để tìm tọa độ của các vectơ theo yêu cầu, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính vector như sau: 1. Tìm tọa độ của $\overrightarrow a - \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (2 - (-5); -4 - 3) = (2 + 5; -4 - 3) = (7; -7) \] 2. Tìm tọa độ của $\overrightarrow a + \overrightarrow b$: \[ \overrightarrow a + \overrightarrow b = (2 + (-5); -4 + 3) = (2 - 5; -4 + 3) = (-3; -1) \] 3. Tìm tọa độ của $2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b$: \[ 2\overrightarrow a = 2(2; -4) = (2 \times 2; 2 \times -4) = (4; -8) \] \[ 3\overrightarrow b = 3(-5; 3) = (3 \times -5; 3 \times 3) = (-15; 9) \] \[ 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = (4 + (-15); -8 + 9) = (4 - 15; -8 + 9) = (-11; 1) \] Vậy: - Tọa độ của $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $(7; -7)$. - Tọa độ của $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ là $(-3; -1)$. - Tọa độ của $2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b$ là $(-11; 1)$. Câu 7: Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; -1)$ và $\overrightarrow{b} = (3; -4)$, ta thực hiện theo công thức sau: Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (a_1; a_2)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1; b_2)$ được tính bằng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \] Áp dụng công thức này vào bài toán: - Ta có $a_1 = 2$, $a_2 = -1$, $b_1 = 3$, $b_2 = -4$. - Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2 \cdot 3 + (-1) \cdot (-4) \] \[ = 6 + 4 \] \[ = 10 \] Vậy tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là 10. Đáp án đúng là: B. 10. Câu 8: Để tính $|\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}|$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{a} = (-6; 8)$ \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] Bước 2: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{b} = (3; -4)$ \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Bước 3: Cộng hai độ dài vừa tính được \[ |\overrightarrow{a}| + |\overrightarrow{b}| = 10 + 5 = 15 \] Vậy đáp án đúng là D. 15. Câu 9: Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số $\left\{\begin{array}lx=2-3t\\y=4+5t\end{array}\right.$, ta làm như sau: Phương trình tham số của đường thẳng đã cho là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t \\ y = 4 + 5t \end{array} \right. \] Trong phương trình tham số này, ta thấy rằng: - Khi \( t \) thay đổi, \( x \) thay đổi theo quy luật \( x = 2 - 3t \). - Khi \( t \) thay đổi, \( y \) thay đổi theo quy luật \( y = 4 + 5t \). Như vậy, mỗi khi \( t \) tăng thêm 1 đơn vị, \( x \) sẽ giảm đi 3 đơn vị và \( y \) sẽ tăng thêm 5 đơn vị. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng này là \( \overrightarrow{u} = (-3; 5) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\overrightarrow{u} = (-3; 5) \] Câu 10: Để tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng có phương trình \(2x - 3y + 4 = 0\), ta cần dựa vào hệ số của \(x\) và \(y\) trong phương trình này. Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là \(ax + by + c = 0\). Trong đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng này sẽ có dạng \(\overrightarrow{n} = (a, b)\). Trong phương trình \(2x - 3y + 4 = 0\): - Hệ số của \(x\) là \(2\). - Hệ số của \(y\) là \(-3\). Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng này là \(\overrightarrow{n} = (2, -3)\). Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow{n} = (2, -3).\] Câu 11: Để tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(-3;1) \) và \( B(2;2) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \): Vectơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \) là \( \overrightarrow{AB} \). Ta tính \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - (-3), 2 - 1) = (5, 1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( AB \) là vectơ vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \). Một vectơ vuông góc với \( \overrightarrow{AB} = (5, 1) \) có thể là \( (-1, 5) \) hoặc \( (1, -5) \). Ta kiểm tra các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( (1, -5) \) - Đáp án B: \( (5, 1) \) - Đáp án C: \( (1, 1) \) - Đáp án D: \( (-1, 1) \) Trong các đáp án này, chỉ có \( (1, -5) \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( AB \). Vậy, vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(-3;1) \) và \( B(2;2) \) là \( (1, -5) \). Đáp án đúng là: \( A.~(1;-5) \). Câu 12: Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(3;4)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{n}(1;2)\) làm vectơ pháp tuyến, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng: \[ ax + by + c = 0 \] Trong đó, \((a, b)\) là các thành phần của vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\). 2. Thay các thành phần của vectơ pháp tuyến vào phương trình: Vì \(\overrightarrow{n}(1;2)\) là vectơ pháp tuyến, ta có: \[ a = 1, \quad b = 2 \] Do đó, phương trình tổng quát ban đầu là: \[ x + 2y + c = 0 \] 3. Tìm giá trị của \(c\) bằng cách thay tọa độ điểm \(M(3;4)\) vào phương trình: Thay \(x = 3\) và \(y = 4\) vào phương trình: \[ 3 + 2 \cdot 4 + c = 0 \] \[ 3 + 8 + c = 0 \] \[ 11 + c = 0 \] \[ c = -11 \] 4. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng: Thay \(c = -11\) vào phương trình tổng quát: \[ x + 2y - 11 = 0 \] Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{x + 2y - 11 = 0} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x + 2y - 11 = 0 \] Câu 13: Để viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N(2;1)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow{u}(-3;4)\) làm vectơ chỉ phương, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm và vectơ chỉ phương: - Điểm \(N\) có tọa độ \((2;1)\). - Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}\) có tọa độ \((-3;4)\). 2. Lập phương trình tham số: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(N(x_0; y_0)\) và nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(a; b)\) có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array} \right. \] Thay \(x_0 = 2\), \(y_0 = 1\), \(a = -3\), và \(b = 4\) vào phương trình trên, ta được: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t \end{array} \right. \] 3. Kiểm tra đáp án: Các phương án đã cho là: - A. \(\left\{\begin{array}{l}x = 4 + 2t \\ y = 3 + t\end{array}\right.\) - B. \(\left\{\begin{array}{l}x = -3 + 2t \\ y = 4 + t\end{array}\right.\) - C. \(\left\{\begin{array}{l}x = 2 + 4t \\ y = 1 + 3t\end{array}\right.\) - D. \(\left\{\begin{array}{l}x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t\end{array}\right.\) So sánh với phương trình tham số đã lập, ta thấy phương án D đúng. Đáp án: D. \(\left\{\begin{array}{l}x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t\end{array}\right.\) Câu 15: Để viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(2;1)\) và song song với đường thẳng \(\Delta: 3x - 2y + 3 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(3x - 2y + 3 = 0\). Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(y = mx + n\): \[ 3x - 2y + 3 = 0 \implies -2y = -3x - 3 \implies y = \frac{3}{2}x + \frac{3}{2} \] Vậy hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\) là \(m = \frac{3}{2}\). 2. Phương trình đường thẳng \(d\) song song với \(\Delta\): Vì đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta\), nên chúng có cùng hệ số góc \(m = \frac{3}{2}\). Phương trình đường thẳng \(d\) sẽ có dạng: \[ y = \frac{3}{2}x + b \] 3. Xác định tham số \(b\) bằng cách sử dụng điểm \(A(2;1)\): Thay tọa độ điểm \(A(2;1)\) vào phương trình \(y = \frac{3}{2}x + b\): \[ 1 = \frac{3}{2}(2) + b \implies 1 = 3 + b \implies b = 1 - 3 \implies b = -2 \] 4. Viết phương trình đường thẳng \(d\): Thay \(b = -2\) vào phương trình \(y = \frac{3}{2}x + b\): \[ y = \frac{3}{2}x - 2 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 2y = 3x - 4 \implies 3x - 2y - 4 = 0 \] Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{3x - 2y - 4 = 0} \] Đáp án đúng là: \(A.~3x - 2y - 4 = 0\). Câu 16: Để viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I(4; -1)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta: x + y - 2017 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) có phương trình \(x + y - 2017 = 0\). Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(y = -x + 2017\). Từ đây, ta thấy hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\) là \(-1\). 2. Tìm hệ số góc của đường thẳng \(d\): Vì đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta\), nên hệ số góc của đường thẳng \(d\) sẽ là nghịch đảo và trái dấu của hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\). Do đó, hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(1\). 3. Viết phương trình đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I(4; -1)\) và có hệ số góc là \(1\). Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Thay \(m = 1\), \(x_1 = 4\), và \(y_1 = -1\) vào phương trình trên, ta được: \[ y - (-1) = 1(x - 4) \] \[ y + 1 = x - 4 \] \[ y = x - 5 \] Viết lại phương trình này dưới dạng tổng quát, ta có: \[ x - y - 5 = 0 \] Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(x - y - 5 = 0\). Đáp án đúng là: \(B.~x - y - 5 = 0.\)