giải giúp em

Câu 1: Để kiểm tra xem các điểm có thuộc đường thẳng \( d \) hay không, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng \( d \). Phương trình đường thẳng \( d \) là: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{4} \] Ta sẽ kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \( M(1, 2, 5) \): - Thay \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 5 \) vào phương trình: \[ \frac{1-1}{2} = \frac{2-2}{2} = \frac{5-5}{4} \] \[ \frac{0}{2} = \frac{0}{2} = \frac{0}{4} \] \[ 0 = 0 = 0 \] Vậy điểm \( M(1, 2, 5) \) thuộc đường thẳng \( d \). 2. Kiểm tra điểm \( N(1, -2, 5) \): - Thay \( x = 1 \), \( y = -2 \), \( z = 5 \) vào phương trình: \[ \frac{1-1}{2} = \frac{-2-2}{2} = \frac{5-5}{4} \] \[ \frac{0}{2} = \frac{-4}{2} = \frac{0}{4} \] \[ 0 = -2 = 0 \] Vậy điểm \( N(1, -2, 5) \) không thuộc đường thẳng \( d \). 3. Kiểm tra điểm \( Q(-1, 2, -5) \): - Thay \( x = -1 \), \( y = 2 \), \( z = -5 \) vào phương trình: \[ \frac{-1-1}{2} = \frac{2-2}{2} = \frac{-5-5}{4} \] \[ \frac{-2}{2} = \frac{0}{2} = \frac{-10}{4} \] \[ -1 = 0 = -\frac{5}{2} \] Vậy điểm \( Q(-1, 2, -5) \) không thuộc đường thẳng \( d \). 4. Kiểm tra điểm \( P(2, 3, 4) \): - Thay \( x = 2 \), \( y = 3 \), \( z = 4 \) vào phương trình: \[ \frac{2-1}{2} = \frac{3-2}{2} = \frac{4-5}{4} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{-1}{4} \] \[ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \neq -\frac{1}{4} \] Vậy điểm \( P(2, 3, 4) \) không thuộc đường thẳng \( d \). Kết luận: Điểm thuộc đường thẳng \( d \) là \( M(1, 2, 5) \). Đáp án đúng là: \( A.~M(1, 2, 5) \). Câu 2: Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$, ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng. Đường thẳng $(d)$ có phương trình tham số là: \[ \frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-4} = \frac{z-7}{2} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M(1, 3, 7)$ và có vectơ chỉ phương là $(1, -4, 2)$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $(d)$ là $(1, -4, 2)$. Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{C}~(1, -4, 2) \] Câu 3: Để kiểm tra xem đường thẳng $d$ đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng $d$ và kiểm tra xem có tồn tại giá trị của tham số $t$ thỏa mãn hay không. Kiểm tra điểm $M(2; -1; 0)$: Thay $x = 2$, $y = -1$, $z = 0$ vào phương trình tham số: \[ 2 = 5 + 3t \\ -1 = 5 - 4t \\ 0 = 5 + 5t \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 2 = 5 + 3t \implies 3t = 2 - 5 \implies 3t = -3 \implies t = -1 \] Giải phương trình thứ hai: \[ -1 = 5 - 4t \implies -4t = -1 - 5 \implies -4t = -6 \implies t = \frac{3}{2} \] Giải phương trình thứ ba: \[ 0 = 5 + 5t \implies 5t = -5 \implies t = -1 \] Nhận thấy rằng giá trị của $t$ không đồng nhất ở cả ba phương trình, do đó điểm $M(2; -1; 0)$ không nằm trên đường thẳng $d$. Kiểm tra điểm $M(8; 9; 10)$: Thay $x = 8$, $y = 9$, $z = 10$ vào phương trình tham số: \[ 8 = 5 + 3t \\ 9 = 5 - 4t \\ 10 = 5 + 5t \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 8 = 5 + 3t \implies 3t = 8 - 5 \implies 3t = 3 \implies t = 1 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 9 = 5 - 4t \implies -4t = 9 - 5 \implies -4t = 4 \implies t = -1 \] Giải phương trình thứ ba: \[ 10 = 5 + 5t \implies 5t = 10 - 5 \implies 5t = 5 \implies t = 1 \] Nhận thấy rằng giá trị của $t$ không đồng nhất ở cả ba phương trình, do đó điểm $M(8; 9; 10)$ không nằm trên đường thẳng $d$. Kiểm tra điểm $M(3; -4; 5)$: Thay $x = 3$, $y = -4$, $z = 5$ vào phương trình tham số: \[ 3 = 5 + 3t \\ -4 = 5 - 4t \\ 5 = 5 + 5t \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 3 = 5 + 3t \implies 3t = 3 - 5 \implies 3t = -2 \implies t = -\frac{2}{3} \] Giải phương trình thứ hai: \[ -4 = 5 - 4t \implies -4t = -4 - 5 \implies -4t = -9 \implies t = \frac{9}{4} \] Giải phương trình thứ ba: \[ 5 = 5 + 5t \implies 5t = 5 - 5 \implies 5t = 0 \implies t = 0 \] Nhận thấy rằng giá trị của $t$ không đồng nhất ở cả ba phương trình, do đó điểm $M(3; -4; 5)$ không nằm trên đường thẳng $d$. Kiểm tra điểm $M(5; 5; 5)$: Thay $x = 5$, $y = 5$, $z = 5$ vào phương trình tham số: \[ 5 = 5 + 3t \\ 5 = 5 - 4t \\ 5 = 5 + 5t \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 5 = 5 + 3t \implies 3t = 5 - 5 \implies 3t = 0 \implies t = 0 \] Giải phương trình thứ hai: \[ 5 = 5 - 4t \implies -4t = 5 - 5 \implies -4t = 0 \implies t = 0 \] Giải phương trình thứ ba: \[ 5 = 5 + 5t \implies 5t = 5 - 5 \implies 5t = 0 \implies t = 0 \] Nhận thấy rằng giá trị của $t$ đồng nhất ở cả ba phương trình, do đó điểm $M(5; 5; 5)$ nằm trên đường thẳng $d$. Kết luận: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(5; 5; 5)$. Câu 4: Mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1)^2+(y+3)^2+(z-2)^2=4$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng chuẩn của phương trình mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó $(a, b, c)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính. So sánh phương trình $(S)$ với phương trình chuẩn, ta có: - Tọa độ tâm $I(a, b, c)$ là $(1, -3, 2)$. - Bán kính $R$ là $\sqrt{4} = 2$. Do đó, tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là: - Tâm $I(1, -3, 2)$ - Bán kính $R = 2$ Vậy đáp án đúng là: $\textcircled B.~I(1;-3;2),~R=2.$ Câu 5: Phương trình mặt cầu có tâm \( L(2;3;-3) \) và bán kính \( R = \sqrt{3} \) được viết dưới dạng: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2 \] Trong đó, \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ tâm của mặt cầu và \( R \) là bán kính. Thay tọa độ tâm \( L(2;3;-3) \) và bán kính \( R = \sqrt{3} \) vào phương trình trên, ta có: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = (\sqrt{3})^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 3 \] Do đó, phương trình mặt cầu là: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 3)^2 = 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~(x-2)^2+(y-3)^2+(z+3)^2=3} \] Câu 6: Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm của mặt cầu là \( I(4, -2, 1) \). Do đó, ta thay \( a = 4 \), \( b = -2 \), và \( c = 1 \) vào phương trình tổng quát trên: \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = R^2 \] Vì không có thông tin về bán kính \( R \), phương trình của mặt cầu (S) sẽ là: \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = R^2 \] Đáp số: \((x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = R^2\)