Giup minh voi

Câu 1: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình hộp chữ nhật: - Gọi A(0, 0, 0), B($\sqrt{2}$, 0, 0), C($\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, 0), D(0, $\sqrt{2}$, 0) - A'(0, 0, 2), B'($\sqrt{2}$, 0, 2), C'($\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, 2), D'(0, $\sqrt{2}$, 2) 2. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng BD và CD': - Vectơ BD = D - B = (0 - $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ - 0, 0 - 0) = (-$\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$, 0) - Vectơ CD' = D' - C = (0 - $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ - $\sqrt{2}$, 2 - 0) = (-$\sqrt{2}$, 0, 2) 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa BD và CD': - Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa BD và CD'. Gọi vectơ này là n = (a, b, c). Ta có: \[ n \cdot BD = 0 \quad \text{và} \quad n \cdot CD' = 0 \] Thay vào ta có: \[ a(-\sqrt{2}) + b(\sqrt{2}) + c(0) = 0 \quad \Rightarrow \quad -a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = b \] \[ a(-\sqrt{2}) + b(0) + c(2) = 0 \quad \Rightarrow \quad -a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a = c \] Vậy n = (a, a, a) = (1, 1, 1). 4. Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng BD: - Ta cần tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng BD. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống BD. Ta có: \[ CH = \frac{|CD \times BD|}{|BD|} \] - Tính CD = D - C = (0 - $\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ - $\sqrt{2}$, 0 - 0) = (-$\sqrt{2}$, 0, 0) - Tính tích vector CD × BD: \[ CD \times BD = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -\sqrt{2} & 0 & 0 \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -2) \] - Tính độ dài |CD × BD|: \[ |CD \times BD| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = 2 \] - Tính độ dài |BD|: \[ |BD| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 \] - Vậy khoảng cách từ C đến BD là: \[ CH = \frac{2}{2} = 1 \] 5. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD': - Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD' là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng BD, tức là: \[ d(BD, CD') = CH = 1 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và CD' là 1. Câu 2: Để tìm tổng số kilomet mà người đưa thư phải đi ngắn nhất khi đi qua tất cả các đường từ A đến T, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị. Bước 1: Xác định các đỉnh và trọng số của các cạnh: - A liên kết với B (1 km), C (2 km) - B liên kết với A (1 km), D (3 km), E (4 km) - C liên kết với A (2 km), D (5 km), T (6 km) - D liên kết với B (3 km), C (5 km), E (7 km), T (8 km) - E liên kết với B (4 km), D (7 km), T (9 km) - T liên kết với C (6 km), D (8 km), E (9 km) Bước 2: Áp dụng thuật toán Dijkstra để tìm đường đi ngắn nhất từ A đến T: - Khởi tạo khoảng cách ban đầu từ A đến tất cả các đỉnh khác là vô cùng, trừ A là 0. - Chọn đỉnh A làm đỉnh hiện tại. - Cập nhật khoảng cách đến các đỉnh kề cận của A (B và C): - Khoảng cách từ A đến B là 1 km. - Khoảng cách từ A đến C là 2 km. - Chọn đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất chưa được xử lý (đỉnh B với khoảng cách 1 km). - Cập nhật khoảng cách đến các đỉnh kề cận của B (D và E): - Khoảng cách từ A đến D qua B là 1 + 3 = 4 km. - Khoảng cách từ A đến E qua B là 1 + 4 = 5 km. - Chọn đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất chưa được xử lý (đỉnh C với khoảng cách 2 km). - Cập nhật khoảng cách đến các đỉnh kề cận của C (D và T): - Khoảng cách từ A đến D qua C là 2 + 5 = 7 km (không cập nhật vì 4 km < 7 km). - Khoảng cách từ A đến T qua C là 2 + 6 = 8 km. - Chọn đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất chưa được xử lý (đỉnh D với khoảng cách 4 km). - Cập nhật khoảng cách đến các đỉnh kề cận của D (E và T): - Khoảng cách từ A đến E qua D là 4 + 7 = 11 km (không cập nhật vì 5 km < 11 km). - Khoảng cách từ A đến T qua D là 4 + 8 = 12 km (không cập nhật vì 8 km < 12 km). - Chọn đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất chưa được xử lý (đỉnh E với khoảng cách 5 km). - Cập nhật khoảng cách đến các đỉnh kề cận của E (T): - Khoảng cách từ A đến T qua E là 5 + 9 = 14 km (không cập nhật vì 8 km < 14 km). Kết luận: Đường đi ngắn nhất từ A đến T có tổng số kilomet là 8 km. Đáp số: 8 km. Câu 3: Gọi bán kính quả bóng là R, ta có: R = 17 + 18 + 21 - R 2R = 56 R = 28 (cm) Vậy đáp án đúng điền vào ô trống là 28. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của các parabol \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \). 2. Tính diện tích của logo. 3. Tính diện tích của cửa sổ. 4. Tính lượng ánh sáng đi qua logo và cửa sổ. 5. Tính lượng ánh sáng giảm bao nhiêu phần trăm. Bước 1: Xác định phương trình của các parabol - Parabol \( y = f(x) \) đi qua điểm \( O(0, 0) \), \( D(2, 0) \), và \( G(3, 1) \). Ta có: \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] Vì đi qua \( O(0, 0) \): \[ c = 0 \] Vì đi qua \( D(2, 0) \): \[ 4a + 2b = 0 \] \[ 2a + b = 0 \] \[ b = -2a \] Vì đi qua \( G(3, 1) \): \[ 9a + 3b = 1 \] \[ 9a + 3(-2a) = 1 \] \[ 9a - 6a = 1 \] \[ 3a = 1 \] \[ a = \frac{1}{3} \] \[ b = -\frac{2}{3} \] Do đó: \[ f(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x \] - Parabol \( y = g(x) \) đi qua điểm \( O(0, 0) \), \( E(4, 0) \), và \( C(1, 1) \). Ta có: \[ g(x) = dx^2 + ex + f \] Vì đi qua \( O(0, 0) \): \[ f = 0 \] Vì đi qua \( E(4, 0) \): \[ 16d + 4e = 0 \] \[ 4d + e = 0 \] \[ e = -4d \] Vì đi qua \( C(1, 1) \): \[ d + e = 1 \] \[ d - 4d = 1 \] \[ -3d = 1 \] \[ d = -\frac{1}{3} \] \[ e = \frac{4}{3} \] Do đó: \[ g(x) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x \] Bước 2: Tính diện tích của logo Diện tích của logo là diện tích giữa hai parabol từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \): \[ A_{logo} = \int_{0}^{4} \left( g(x) - f(x) \right) \, dx \] \[ g(x) - f(x) = \left( -\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x \right) - \left( \frac{1}{3}x^2 - \frac{2}{3}x \right) \] \[ = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x \] \[ = -\frac{2}{3}x^2 + 2x \] \[ A_{logo} = \int_{0}^{4} \left( -\frac{2}{3}x^2 + 2x \right) \, dx \] \[ = \left[ -\frac{2}{9}x^3 + x^2 \right]_{0}^{4} \] \[ = \left( -\frac{2}{9}(4)^3 + (4)^2 \right) - \left( -\frac{2}{9}(0)^3 + (0)^2 \right) \] \[ = \left( -\frac{2}{9}(64) + 16 \right) - 0 \] \[ = -\frac{128}{9} + 16 \] \[ = -\frac{128}{9} + \frac{144}{9} \] \[ = \frac{16}{9} \] Bước 3: Tính diện tích của cửa sổ Diện tích của cửa sổ là: \[ A_{cửa\_sổ} = 4 \times 4 = 16 \, dm^2 \] Bước 4: Tính lượng ánh sáng đi qua logo và cửa sổ Lượng ánh sáng đi qua logo là 50% diện tích logo: \[ A_{logo\_đi\_qua} = \frac{1}{2} \times \frac{16}{9} = \frac{8}{9} \, dm^2 \] Lượng ánh sáng đi qua cửa sổ là: \[ A_{cửa\_sổ\_đi\_qua} = 16 - \frac{8}{9} = \frac{144}{9} - \frac{8}{9} = \frac{136}{9} \, dm^2 \] Bước 5: Tính lượng ánh sáng giảm bao nhiêu phần trăm Lượng ánh sáng giảm là: \[ \Delta A = 16 - \frac{136}{9} = \frac{144}{9} - \frac{136}{9} = \frac{8}{9} \, dm^2 \] Phần trăm giảm là: \[ \frac{\Delta A}{A_{cửa\_sổ}} \times 100 = \frac{\frac{8}{9}}{16} \times 100 = \frac{8}{144} \times 100 = \frac{1}{18} \times 100 \approx 5.56\% \] Vậy lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm khoảng 5.6%.