Bạn Nam viết ra 52 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100 chứng minh rằng tôn tại 2 số a,b (a>b) sao cho a-b=2

Gọi $A$ là tập hợp gồm 52 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100 mà bạn Nam viết ra.

Ta xét tập $B = \{ a + 2 | a \in A \}$.

Tập $B$ cũng có 52 phần tử.

Các phần tử của tập $B$ cũng là các số nguyên dương không vượt quá 102.

Xét tập $A \cup B$. Số phần tử của tập này không vượt quá 100.

Nếu $A \cap B = \emptyset$ thì $|A \cup B| = |A| + |B| = 52 + 52 = 104$.

Nhưng vì $A \cup B \subset \{1, 2, \dots, 102\}$ nên $|A \cup B| \le 102$.

Suy ra $A \cap B \ne \emptyset$.

Vậy tồn tại một số $x$ thuộc cả $A$ và $B$.

Vì $x \in B$ nên tồn tại $b \in A$ sao cho $x = b+2$.

Vì $x \in A$ nên $x = a$ với $a \in A$.

Vậy $a = b+2$, suy ra $a - b = 2$.

Do $a = x = b+2$ nên $a > b$.

Vậy tồn tại hai số $a, b \in A$ sao cho $a > b$ và $a - b = 2$.