.............

Câu 1: Để giải phương trình $2^{x-2} = 16$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Phương trình này là phương trình mũ, không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể nào khác ngoài việc \( x \) là số thực. Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng cơ số giống nhau - Ta nhận thấy rằng \( 16 \) có thể viết dưới dạng lũy thừa của cơ số \( 2 \): \[ 16 = 2^4 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{x-2} = 2^4 \] Bước 3: So sánh các mũ của cùng cơ số - Vì hai vế đều có cùng cơ số \( 2 \), ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ x - 2 = 4 \] Bước 4: Giải phương trình bậc nhất - Giải phương trình \( x - 2 = 4 \): \[ x = 4 + 2 \] \[ x = 6 \] Bước 5: Kiểm tra nghiệm - Thay \( x = 6 \) vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ 2^{6-2} = 2^4 = 16 \] Phương trình đúng, vậy \( x = 6 \) là nghiệm của phương trình. Kết luận: Nghiệm của phương trình \( 2^{x-2} = 16 \) là \( x = 6 \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_2(x-1)$, ta cần $x-1 > 0$, suy ra $x > 1$. 2. Sử dụng tính chất của logarit để biến đổi phương trình: - Ta có $\log_2(x-1) = \log_64 + \log_69$. - Áp dụng tính chất $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$, ta có: \[ \log_64 + \log_69 = \log_6(4 \cdot 9) = \log_636. \] - Do đó, phương trình trở thành: \[ \log_2(x-1) = \log_636. \] 3. Biến đổi phương trình logarit về dạng cơ bản: - Để giải phương trình $\log_2(x-1) = \log_636$, ta cần chuyển đổi cơ số của logarit bên phải sang cơ số 2. Ta sử dụng công thức đổi cơ số: \[ \log_636 = \frac{\log_236}{\log_26}. \] - Ta biết rằng $36 = 6^2$, nên: \[ \log_236 = \log_2(6^2) = 2 \log_26. \] - Do đó: \[ \log_636 = \frac{2 \log_26}{\log_26} = 2. \] - Vậy phương trình trở thành: \[ \log_2(x-1) = 2. \] 4. Giải phương trình logarit cơ bản: - Phương trình $\log_2(x-1) = 2$ tương đương với: \[ x-1 = 2^2 = 4. \] - Suy ra: \[ x = 4 + 1 = 5. \] 5. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định $x > 1$. Với $x = 5$, điều kiện này được thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$. Câu 3: Để tính $f'(2)$, trước tiên chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2 + 7x - 1$. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$. - Đạo hàm của $x^3$ là $3x^2$. - Đạo hàm của $-3x^2$ là $-6x$. - Đạo hàm của $7x$ là $7$. - Đạo hàm của $-1$ là $0$. Vậy đạo hàm của $f(x)$ là: \[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 7 \] Bước 2: Thay $x = 2$ vào biểu thức đạo hàm $f'(x)$ để tính $f'(2)$. \[ f'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 \] \[ f'(2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 + 7 \] \[ f'(2) = 12 - 12 + 7 \] \[ f'(2) = 7 \] Vậy $f'(2) = 7$. Câu 4: Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)$. \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 7x^2 + 2x + 5) = 6x^2 - 14x + 2 \] Bước 2: Thay $x = 2$ vào đạo hàm để tìm giá trị của đạo hàm tại điểm đó. \[ f'(2) = 6(2)^2 - 14(2) + 2 = 6 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 2 = 24 - 28 + 2 = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x=2$ là $-2$. Câu 1: Để tìm vận tốc của vật tại giây thứ 2, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định hàm quãng đường \( s(t) \): \[ s(t) = t^3 + 3t^2 + 5t - 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm quãng đường để tìm hàm vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = s'(t) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3) + \frac{d}{dt}(3t^2) + \frac{d}{dt}(5t) - \frac{d}{dt}(1) \] \[ s'(t) = 3t^2 + 6t + 5 \] Bước 3: Thay \( t = 2 \) vào hàm vận tốc \( v(t) \): \[ v(2) = 3(2)^2 + 6(2) + 5 \] \[ v(2) = 3 \cdot 4 + 6 \cdot 2 + 5 \] \[ v(2) = 12 + 12 + 5 \] \[ v(2) = 29 \] Vậy vận tốc của vật tại giây thứ 2 là 29 m/s. Câu 2: Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, ta áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản. a) \( y = x^4 - 4x^2 + 4 \) Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa: \[ y' = (x^4)' - (4x^2)' + (4)' \] \[ y' = 4x^3 - 4 \cdot 2x + 0 \] \[ y' = 4x^3 - 8x \] b) \( y = x^3 + 3^x \) Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa và hàm mũ: \[ y' = (x^3)' + (3^x)' \] \[ y' = 3x^2 + 3^x \ln 3 \] c) \( y = \ln x + \tan x \) Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm số logarit: \[ y' = (\ln x)' + (\tan x)' \] \[ y' = \frac{1}{x} + \sec^2 x \] Vậy, đạo hàm của các hàm số lần lượt là: a) \( y' = 4x^3 - 8x \) b) \( y' = 3x^2 + 3^x \ln 3 \) c) \( y' = \frac{1}{x} + \sec^2 x \) Câu 3: Để tính đạo hàm của các hàm số đã cho, ta sẽ áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: $(u.v)' = u'.v + u.v'$. a) $y = e^x \cdot \cos x$ - Ta có $u = e^x$ và $v = \cos x$. - Đạo hàm của $u$: $u' = e^x$. - Đạo hàm của $v$: $v' = -\sin x$. Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (e^x)' \cdot \cos x + e^x \cdot (\cos x)' \] \[ y' = e^x \cdot \cos x + e^x \cdot (-\sin x) \] \[ y' = e^x \cdot \cos x - e^x \cdot \sin x \] \[ y' = e^x (\cos x - \sin x) \] b) $y = x^2 \cdot \ln x$ - Ta có $u = x^2$ và $v = \ln x$. - Đạo hàm của $u$: $u' = 2x$. - Đạo hàm của $v$: $v' = \frac{1}{x}$. Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x^2)' \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)' \] \[ y' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} \] \[ y' = 2x \cdot \ln x + x \] \[ y' = x(2 \ln x + 1) \] c) $y = x^5 \cdot \log x$ - Ta có $u = x^5$ và $v = \log x$. - Đạo hàm của $u$: $u' = 5x^4$. - Đạo hàm của $v$: $v' = \frac{1}{x \ln 10}$. Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = (x^5)' \cdot \log x + x^5 \cdot (\log x)' \] \[ y' = 5x^4 \cdot \log x + x^5 \cdot \frac{1}{x \ln 10} \] \[ y' = 5x^4 \cdot \log x + \frac{x^4}{\ln 10} \] \[ y' = x^4 \left(5 \log x + \frac{1}{\ln 10}\right) \] Đáp số: a) $y' = e^x (\cos x - \sin x)$ b) $y' = x(2 \ln x + 1)$ c) $y' = x^4 \left(5 \log x + \frac{1}{\ln 10}\right)$ Câu 4: Gọi A là biến cố "Người đó mua sách A", B là biến cố "Người đó mua sách B". Từ đề bài ta có: - P(A) = 0,5 (xác suất người đó mua sách A) - P(B) = 0,7 (xác suất người đó mua sách B) - P(A ∩ B) = 0,3 (xác suất người đó mua cả sách A và B) a) Xác suất để người đó mua ít nhất một trong hai cuốn sách A hoặc B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0,5 + 0,7 - 0,3 = 0,9 b) Xác suất để người đó không mua cả sách A và B: P(¬A ∩ ¬B) = 1 - P(A ∪ B) = 1 - 0,9 = 0,1 Đáp số: a) 0,9 b) 0,1 Câu 5: a) Xác suất để hạt A nảy mầm còn hạt B không nảy mầm là: \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) \times P(\overline{B}) = 0.92 \times (1 - 0.88) = 0.92 \times 0.12 = 0.1104 \] b) Xác suất để ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm là: \[ P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) = 1 - (1 - 0.92) \times (1 - 0.88) = 1 - 0.08 \times 0.12 = 1 - 0.0096 = 0.9904 \] Đáp số: a) 0.1104 b) 0.9904 Câu 6: Để tính xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu, ta sẽ áp dụng phương pháp tính xác suất của sự kiện đối lập. Bước 1: Xác định xác suất của các sự kiện liên quan: - Xác suất học sinh tỉnh A đạt yêu cầu là \( P(A) = 0.93 \) - Xác suất học sinh tỉnh B đạt yêu cầu là \( P(B) = 0.87 \) Bước 2: Xác định xác suất của các sự kiện đối lập: - Xác suất học sinh tỉnh A không đạt yêu cầu là \( P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.93 = 0.07 \) - Xác suất học sinh tỉnh B không đạt yêu cầu là \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.87 = 0.13 \) Bước 3: Xác định xác suất cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu: - Vì chất lượng học sinh của hai tỉnh độc lập, nên xác suất cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu là: \[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = 0.07 \times 0.13 = 0.0091 \] Bước 4: Xác định xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu: - Sự kiện "ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu" là sự kiện đối lập của "cả hai học sinh đều không đạt yêu cầu". Do đó, xác suất của nó là: \[ P(\text{ít nhất một học sinh đạt yêu cầu}) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.0091 = 0.9909 \] Vậy xác suất để có ít nhất một trong hai học sinh được chọn đạt yêu cầu là \( 0.9909 \).