giải giúp mình

Câu 51: Để xác định hàm số có đồ thị là đường cong trong hình vẽ, chúng ta sẽ kiểm tra từng tính chất của hàm số và so sánh với các lựa chọn đã cho. 1. Kiểm tra tính chẵn lẻ: - Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ (0,0) và đối xứng qua gốc tọa độ, do đó hàm số là hàm lẻ. 2. Kiểm tra giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): - Khi \( x \to \infty \), đồ thị tiến dần đến đường thẳng \( y = x \). - Khi \( x \to -\infty \), đồ thị cũng tiến dần đến đường thẳng \( y = x \). 3. Kiểm tra đạo hàm: - Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là \( f'(x) \). - Đồ thị của hàm số có điểm uốn tại \( x = 0 \), do đó đạo hàm của hàm số thay đổi dấu ở điểm này. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem hàm số nào thỏa mãn các điều kiện trên. - Hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x} \): - Hàm số này là hàm lẻ vì \( f(-x) = -x - \frac{1}{x} = -f(x) \). - Giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) là \( \infty \) và \( -\infty \), không tiến đến đường thẳng \( y = x \). - Đạo hàm của hàm số là \( f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} \), có điểm uốn tại \( x = 0 \). - Hàm số \( f(x) = x - \frac{1}{x} \): - Hàm số này là hàm lẻ vì \( f(-x) = -x + \frac{1}{x} = -f(x) \). - Giới hạn khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) là \( \infty \) và \( -\infty \), không tiến đến đường thẳng \( y = x \). - Đạo hàm của hàm số là \( f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} \), không có điểm uốn tại \( x = 0 \). - Hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x^2} \): - Hàm số này không là hàm lẻ vì \( f(-x) = -x + \frac{1}{x^2} \neq -f(x) \). - Hàm số \( f(x) = x - \frac{1}{x^2} \): - Hàm số này không là hàm lẻ vì \( f(-x) = -x + \frac{1}{x^2} \neq -f(x) \). Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) thỏa mãn tất cả các điều kiện đã nêu. Đáp án: \( f(x) = x + \frac{1}{x} \) Câu 51: Để xác định hàm số có đồ thị như hình vẽ, ta cần kiểm tra tính chất của các hàm số đã cho và so sánh với đồ thị. 1. Kiểm tra tính chất của các hàm số: - \( A.~y = -x^3 + 3x + 1 \) - Đây là hàm bậc ba, có dạng \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). - Đạo hàm: \( y' = -3x^2 + 3 \) - Ta thấy \( y' = 0 \) khi \( -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) - Kiểm tra các điểm cực trị: - \( y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \) - \( y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \) - Đồ thị có hai điểm cực trị ở \( x = -1 \) và \( x = 1 \). - \( B.~y = -x^2 + x - 1 \) - Đây là hàm bậc hai, có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). - Đạo hàm: \( y' = -2x + 1 \) - Ta thấy \( y' = 0 \) khi \( -2x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \) - Kiểm tra điểm cực trị: - \( y\left(\frac{1}{2}\right) = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{3}{4} \) - Đồ thị có một điểm cực đại ở \( x = \frac{1}{2} \). - \( C.~y = x^3 - 3x + 1 \) - Đây là hàm bậc ba, có dạng \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). - Đạo hàm: \( y' = 3x^2 - 3 \) - Ta thấy \( y' = 0 \) khi \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \) - Kiểm tra các điểm cực trị: - \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \) - \( y(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \) - Đồ thị có hai điểm cực trị ở \( x = -1 \) và \( x = 1 \). - \( D.~y = x^4 - x^2 + 1 \) - Đây là hàm bậc bốn, có dạng \( y = ax^4 + bx^2 + c \). - Đạo hàm: \( y' = 4x^3 - 2x \) - Ta thấy \( y' = 0 \) khi \( 4x^3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(2x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \) hoặc \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \) - Kiểm tra các điểm cực trị: - \( y(0) = 0^4 - 0^2 + 1 = 1 \) - \( y\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \) - \( y\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4 - \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} \) - Đồ thị có ba điểm cực trị ở \( x = 0 \) và \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \). 2. So sánh với đồ thị: - Đồ thị trong hình vẽ có hai điểm cực trị, một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Hàm số \( y = -x^3 + 3x + 1 \) và \( y = x^3 - 3x + 1 \) đều có hai điểm cực trị, nhưng chỉ có \( y = x^3 - 3x + 1 \) có điểm cực đại ở \( x = -1 \) và điểm cực tiểu ở \( x = 1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C.~y = x^3 - 3x + 1} \] Câu 52: Để tìm số hạng $u_3$ của cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 2$ và $u_6 = -64$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công bội $q$ của cấp số nhân. - Ta biết rằng $u_6 = u_1 \cdot q^5$. Thay các giá trị vào, ta có: \[ -64 = 2 \cdot q^5 \] \[ q^5 = \frac{-64}{2} \] \[ q^5 = -32 \] \[ q = (-32)^{\frac{1}{5}} \] \[ q = -2 \] Bước 2: Tìm số hạng $u_3$. - Ta biết rằng $u_3 = u_1 \cdot q^2$. Thay các giá trị vào, ta có: \[ u_3 = 2 \cdot (-2)^2 \] \[ u_3 = 2 \cdot 4 \] \[ u_3 = 8 \] Vậy số hạng $u_3$ của cấp số nhân đã cho là 8. Đáp án đúng là: D. 8. Câu 53: Để tìm giá trị của \( m \), chúng ta cần tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Bước 1: Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\) \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1-1, 0-3, 1-2) = (0, -3, -1) \] Bước 2: Tính vectơ \(\overrightarrow{AC}\) \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (5-1, -3-3, 2-2) = (4, -6, 0) \] Bước 3: Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\) \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (0, -3, -1) \cdot (4, -6, 0) = 0 \cdot 4 + (-3) \cdot (-6) + (-1) \cdot 0 = 0 + 18 + 0 = 18 \] Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2m \] Do đó: \[ 18 = 2m \] Giải phương trình này để tìm \( m \): \[ m = \frac{18}{2} = 9 \] Vậy giá trị của \( m \) là \( m = 9 \). Đáp án đúng là: \( B.~m=9 \). Câu 54: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C', các cạnh đáy đều bằng nhau và các mặt bên là các hình bình hành. Ta sẽ tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB'. Bước 1: Xác định vị trí của các điểm. - Điểm A nằm trên đáy ABC. - Điểm C' nằm trên đỉnh A'B'C'. - Đường thẳng BB' là đường thẳng đứng từ B lên B'. Bước 2: Xác định hình chiếu của điểm C' xuống mặt phẳng (ABB'A'). - Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ tam giác đều, nên C' sẽ có hình chiếu trực tiếp xuống trung điểm của đoạn thẳng AA', gọi là điểm D. Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB'. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB' sẽ là khoảng cách giữa đường thẳng AC' và đường thẳng BB' trong mặt phẳng (ABB'A'). Bước 4: Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB' trong mặt phẳng (ABB'A'). - Trong mặt phẳng (ABB'A'), đường thẳng AC' sẽ cắt đường thẳng BB' tại điểm D (trung điểm của AA'). - Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB' sẽ là khoảng cách từ điểm C' đến đường thẳng BB'. Bước 5: Tính khoảng cách từ điểm C' đến đường thẳng BB'. - Vì C' là đỉnh của lăng trụ tam giác đều, nên khoảng cách từ C' đến đường thẳng BB' sẽ là khoảng cách từ C' đến đường thẳng AA' (vì BB' song song với AA'). - Khoảng cách từ C' đến đường thẳng AA' là khoảng cách từ C' đến trung điểm của AA', gọi là điểm D. - Khoảng cách này sẽ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (vì C' là đỉnh của tam giác đều và khoảng cách từ đỉnh đến tâm của tam giác đều là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$). Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và BB' là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Đáp án đúng là: $D.~\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Câu 55: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta có các thông tin sau: - Hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và $x = 2$, với giá trị cực đại là $f(-1) = -1$ và $f(2) = 3$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$, với giá trị cực tiểu là $f(1) = -1$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -1. - Đúng, vì hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ với giá trị $f(1) = -1$. B. Hàm số có ba điểm cực trị. - Đúng, vì hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và $x = 2$, và đạt cực tiểu tại $x = 1$. Tổng cộng có ba điểm cực trị. C. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1. - Sai, vì giá trị cực đại của hàm số là $f(-1) = -1$ và $f(2) = 3$. Giá trị cực đại lớn nhất là 3, không phải -1. D. Hàm số có hai điểm cực đại. - Đúng, vì hàm số đạt cực đại tại $x = -1$ và $x = 2$. Như vậy, mệnh đề sai là: C. Hàm số có giá trị cực đại bằng -1. Câu 56: Để tính phương sai của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị và trung bình cộng. 3. Tính trung bình cộng của các bình phương này. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính bằng công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta tính trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [6; 7): \( x_1 = 6.5 \) - Nhóm [7; 8): \( x_2 = 7.5 \) - Nhóm [8; 9): \( x_3 = 8.5 \) - Nhóm [9; 10): \( x_4 = 9.5 \) Tần số của các nhóm lần lượt là: 2, 8, 18, 12. Tính tổng số học sinh: \[ n = 2 + 8 + 18 + 12 = 40 \] Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(2 \times 6.5) + (8 \times 7.5) + (18 \times 8.5) + (12 \times 9.5)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{13 + 60 + 153 + 114}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{340}{40} \] \[ \bar{x} = 8.5 \] Bước 2: Tính bình phương của khoảng cách giữa mỗi giá trị và trung bình cộng \[ (x_1 - \bar{x})^2 = (6.5 - 8.5)^2 = (-2)^2 = 4 \] \[ (x_2 - \bar{x})^2 = (7.5 - 8.5)^2 = (-1)^2 = 1 \] \[ (x_3 - \bar{x})^2 = (8.5 - 8.5)^2 = 0 \] \[ (x_4 - \bar{x})^2 = (9.5 - 8.5)^2 = 1 \] Bước 3: Tính trung bình cộng của các bình phương này Phương sai \( S^2 \) được tính bằng công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] \[ S^2 = \frac{(2 \times 4) + (8 \times 1) + (18 \times 0) + (12 \times 1)}{40} \] \[ S^2 = \frac{8 + 8 + 0 + 12}{40} \] \[ S^2 = \frac{28}{40} \] \[ S^2 = 0.7 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu là 0.7. Đáp án đúng là: C. 0.7.