Câu 1.
Phương trình mặt phẳng được cho là . Ta nhận thấy rằng véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ có dạng , trong đó , , và là các hệ số của , , và tương ứng trong phương trình mặt phẳng.
Do đó, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
Ta kiểm tra các lựa chọn đã cho:
-
-
-
-
Trong các lựa chọn trên, chỉ có trùng khớp với véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 2.
Phương trình của mặt phẳng là phương trình của mặt phẳng đi qua trục và trục . Mặt phẳng này không phụ thuộc vào tọa độ , do đó phương trình của nó sẽ có dạng .
Ta kiểm tra các phương án:
- Phương án A: là phương trình của mặt phẳng .
- Phương án B: là phương trình của mặt phẳng .
- Phương án C: là phương trình của một mặt phẳng khác, không phải là mặt phẳng .
- Phương án D: là phương trình của mặt phẳng .
Vậy phương trình của mặt phẳng là .
Đáp án đúng là:
Câu 3.
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có véc-tơ pháp tuyến có dạng:
Trong đó là các thành phần của véc-tơ pháp tuyến và là tọa độ của điểm .
Thay vào ta có:
Rút gọn phương trình này:
Vậy phương trình mặt phẳng là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 4.
Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:
Trong đó:
-
-
-
-
-
-
-
Thay các giá trị này vào công thức:
Vậy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là .
Đáp án đúng là: .
Câu 5.
Để xác định mối quan hệ giữa các mặt phẳng, ta cần kiểm tra các điều kiện song song và vuông góc dựa trên các vectơ pháp tuyến của chúng.
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
Kiểm tra điều kiện song song:
Hai mặt phẳng song song nếu vectơ pháp tuyến của chúng tỉ lệ với nhau.
- và : Không tỉ lệ với nhau vì .
- và : Không tỉ lệ với nhau vì .
- và : Không tỉ lệ với nhau vì .
Do đó, không có cặp mặt phẳng nào song song với nhau.
Kiểm tra điều kiện vuông góc:
Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0.
- . Vậy .
- . Vậy .
- . Vậy .
Kết luận:
- Mệnh đề A đúng: .
- Mệnh đề B đúng: .
- Mệnh đề C sai: (vì hai mặt phẳng không song song).
- Mệnh đề D đúng: .
Vậy mệnh đề sai là:
Câu 6.
Để xác định véc-tơ chỉ phương của đường thẳng , ta cần dựa vào phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng được viết dưới dạng:
Từ phương trình này, ta thấy rằng véc-tơ chỉ phương của đường thẳng có các thành phần tương ứng với các mẫu số trong phương trình tham số. Do đó, véc-tơ chỉ phương của đường thẳng là:
Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng véc-tơ đã cho để xác định véc-tơ nào là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng :
-
-
-
-
Trong các véc-tơ trên, véc-tơ chính là véc-tơ chỉ phương của đường thẳng .
Vậy đáp án đúng là:
Câu 7.
Để xác định mối quan hệ giữa hai đường thẳng và , ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, trùng nhau hoặc chéo nhau.
Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng
- Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
- Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song
Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau:
Ta thấy:
Do đó, và tỉ lệ với nhau với . Vậy hai đường thẳng và song song.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện trùng nhau
Hai đường thẳng trùng nhau nếu chúng song song và điểm trên một đường thẳng thuộc đường thẳng còn lại. Ta kiểm tra xem điểm trên có thuộc hay không.
Thay tọa độ điểm vào phương trình của :
Giải hệ phương trình này:
1. suy ra suy ra .
2. suy ra suy ra .
3. suy ra suy ra .
Tất cả các phương trình đều cho cùng một giá trị , vậy điểm thuộc . Do đó, hai đường thẳng và trùng nhau.
Kết luận
Mệnh đề đúng là:
Câu 8.
Phương trình mặt cầu tâm và bán kính có dạng .
Trong bài này, tâm mặt cầu là và bán kính . Do đó, ta thay các giá trị vào phương trình mặt cầu:
Vậy phương trình mặt cầu là:
Đáp án đúng là: D. .
Câu 9.
Để tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng :
Đường thẳng có phương trình tham số là:
Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là:
2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Mặt phẳng có phương trình:
Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Ta có:
Trong đó:
Do đó:
Vậy:
Do đó, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10.
Trước tiên, ta cần xác định tọa độ của các điểm A, B, C dựa trên thông tin về trọng tâm G của tam giác ABC.
Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ:
Biết rằng G có tọa độ (-1, -3, 2), ta có:
Từ đó suy ra:
Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C lần lượt có tọa độ (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).
Do đó:
Thay vào các phương trình trên:
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
Thay , , vào phương trình trên:
Nhân cả hai vế với 18 để loại bỏ mẫu số:
Điều chỉnh lại phương trình:
Như vậy, phương trình mặt phẳng (P) là:
Đáp án đúng là: D. .
Câu 11.
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với đường thẳng d, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB:
- Tọa độ của điểm A là .
- Tọa độ của điểm B là .
- Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là:
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d:
- Đường thẳng d có phương trình .
- Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là .
3. Lập phương trình đường thẳng đi qua trung điểm M và song song với đường thẳng d:
- Đường thẳng đi qua điểm M(0, 1, -1) và có vectơ chỉ phương sẽ có phương trình:
- Viết lại phương trình này dưới dạng:
Do đó, phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với đường thẳng d là:
Vậy đáp án đúng là: