Hdbxnxnxnxnxnx

Câu 1: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số giảm. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $-2$. - Khi $x$ tăng từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số tăng. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $2$. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Từ đó, ta kết luận giá trị cực tiểu của hàm số là $-2$, đạt được khi $x = -1$. Vậy đáp án đúng là: A. -2. Câu 2: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số $y = e^x(x - 2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} [e^x(x - 2)] = e^x \cdot (x - 2) + e^x \cdot 1 = e^x(x - 2 + 1) = e^x(x - 1) \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: Ta thấy rằng $e^x > 0$ với mọi $x$. Do đó, dấu của $y'$ phụ thuộc vào dấu của $(x - 1)$: - Nếu $x - 1 < 0$, tức là $x < 1$, thì $y' < 0$. - Nếu $x - 1 > 0$, tức là $x > 1$, thì $y' > 0$. 3. Xác định khoảng nghịch biến: - Khi $y' < 0$, hàm số nghịch biến. Từ bước 2, ta thấy $y' < 0$ khi $x < 1$. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$. Đáp án: D. $(-\infty; 1)$. Câu 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 3 + \frac{9}{x + 2}$ trên đoạn $[-1; 3]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = 1 - \frac{9}{(x + 2)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt $y' = 0$: \[ 1 - \frac{9}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ \frac{9}{(x + 2)^2} = 1 \] \[ (x + 2)^2 = 9 \] \[ x + 2 = 3 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = -3 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 \] Trong đó, $x = -5$ không thuộc đoạn $[-1; 3]$, nên ta chỉ xét $x = 1$. Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị - Tại $x = -1$: \[ y(-1) = -1 - 3 + \frac{9}{-1 + 2} = -4 + 9 = 5 \] - Tại $x = 1$: \[ y(1) = 1 - 3 + \frac{9}{1 + 2} = -2 + 3 = 1 \] - Tại $x = 3$: \[ y(3) = 3 - 3 + \frac{9}{3 + 2} = 0 + \frac{9}{5} = \frac{9}{5} \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất - $y(-1) = 5$ - $y(1) = 1$ - $y(3) = \frac{9}{5}$ Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $1$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 3 + \frac{9}{x + 2}$ trên đoạn $[-1; 3]$ là $1$, đạt được khi $x = 1$. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 4: Để hàm số $y=\frac{2x+1}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-4)$, ta cần kiểm tra điều kiện của tham số $m$ sao cho hàm số đồng biến trên khoảng này. Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-m}$ có dạng phân thức bậc nhất. Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-4)$, ta cần đảm bảo rằng: - Đạo hàm của hàm số dương trên khoảng $(-\infty;-4)$. - Điểm bất định của hàm số (nơi mẫu số bằng 0) nằm ngoài khoảng $(-\infty;-4)$. Đầu tiên, tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x+1}{x-m} \right)' = \frac{(2x+1)'(x-m) - (2x+1)(x-m)'}{(x-m)^2} = \frac{2(x-m) - (2x+1)}{(x-m)^2} = \frac{-2m-1}{(x-m)^2} \] Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-4)$, ta cần: \[ y' > 0 \] \[ \frac{-2m-1}{(x-m)^2} > 0 \] Do $(x-m)^2$ luôn dương (trừ khi $x = m$, nhưng điểm này nằm ngoài khoảng $(-\infty;-4)$), nên ta chỉ cần: \[ -2m-1 > 0 \] \[ -2m > 1 \] \[ m < -\frac{1}{2} \] Tiếp theo, điểm bất định của hàm số là $x = m$. Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-4)$, điểm bất định này phải nằm ngoài khoảng này, tức là: \[ m \geq -4 \] Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ -4 \leq m < -\frac{1}{2} \] Giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên là: \[ m = -4, -3, -2, -1 \] Vậy có 4 giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{2x+1}{x-m}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-4)$. Đáp án đúng là: B. 4. Câu 5: Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \sin x + 2\cos x$, ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của $\sin x$: Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. 2. Tìm nguyên hàm của $2\cos x$: Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. Do đó, nguyên hàm của $2\cos x$ là $2\sin x$. 3. Kết hợp các kết quả trên: Nguyên hàm của $y = \sin x + 2\cos x$ là $-\cos x + 2\sin x + C$, trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Vậy đáp án đúng là: \[ B. -\cos x + 2\sin x + C. \] Câu 6: Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^3 - x \), \( y = 3x \) và hai đường thẳng \( x = 1 \) và \( x = 3 \), chúng ta cần xác định phần diện tích giữa hai đồ thị này trong khoảng từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \). Trước tiên, ta tìm giao điểm của hai hàm số \( y = x^3 - x \) và \( y = 3x \): \[ x^3 - x = 3x \] \[ x^3 - 4x = 0 \] \[ x(x^2 - 4) = 0 \] \[ x(x - 2)(x + 2) = 0 \] Vậy các giao điểm là \( x = 0 \), \( x = 2 \), và \( x = -2 \). Tuy nhiên, trong khoảng từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \), chỉ có giao điểm \( x = 2 \) nằm trong khoảng này. Tiếp theo, ta so sánh hai hàm số trong khoảng từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \): - Từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \), ta có \( x^3 - x < 3x \). - Từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \), ta có \( x^3 - x > 3x \). Do đó, diện tích của hình phẳng (H) được tính bằng tổng diện tích giữa hai hàm số từ \( x = 1 \) đến \( x = 2 \) và từ \( x = 2 \) đến \( x = 3 \): \[ S = \int_{1}^{2} (3x - (x^3 - x)) \, dx + \int_{2}^{3} ((x^3 - x) - 3x) \, dx \] \[ S = \int_{1}^{2} (4x - x^3) \, dx + \int_{2}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \] Tổng hợp lại, diện tích của hình phẳng (H) được tính bằng: \[ S = \int_{1}^{3} |x^3 - 4x| \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \(\textcircled{D.}~S=\int^3_1|x^3-4x|dx\) Câu 7: Trước tiên, ta xét các trường hợp có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ nhất: 1. Cả 2 viên bi đều xanh. 2. Cả 2 viên bi đều đỏ. Tuy nhiên, do hộp thứ nhất chỉ có 1 viên bi đỏ, nên trường hợp cả 2 viên bi đều đỏ là không thể xảy ra. Vậy chỉ còn trường hợp cả 2 viên bi đều xanh. Sau khi lấy 2 viên bi xanh từ hộp thứ nhất và cho vào hộp thứ hai, hộp thứ hai sẽ có: - 7 viên bi xanh (5 viên ban đầu + 2 viên từ hộp thứ nhất) - 3 viên bi đỏ Tổng số viên bi trong hộp thứ hai lúc này là: \[ 7 + 3 = 10 \text{ viên} \] Xác suất lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \[ \frac{\text{số viên bi đỏ}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{3}{10} = 0,3 \] Vậy đáp án đúng là: B. 0,3 Câu 8: Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số học sinh của lớp 12D: - Số học sinh có điểm tổng kết trong khoảng [7; 7,5) là 6 học sinh. - Số học sinh có điểm tổng kết trong khoảng [7,5; 8) là 16 học sinh. - Số học sinh có điểm tổng kết trong khoảng [8; 8,5) là 13 học sinh. - Số học sinh có điểm tổng kết trong khoảng [8,5; 9) là 5 học sinh. Tổng số học sinh của lớp 12D là: \[ 6 + 16 + 13 + 5 = 40 \text{ học sinh} \] 2. Tính tần suất tương đối của mỗi khoảng điểm: - Tần suất tương đối của khoảng [7; 7,5): \[ \frac{6}{40} = 0,15 \] - Tần suất tương đối của khoảng [7,5; 8): \[ \frac{16}{40} = 0,4 \] - Tần suất tương đối của khoảng [8; 8,5): \[ \frac{13}{40} = 0,325 \] - Tần suất tương đối của khoảng [8,5; 9): \[ \frac{5}{40} = 0,125 \] 3. Lập bảng tần suất tương đối: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Điểm} & \text{Tần suất tương đối} \\ \hline [7; 7,5) & 0,15 \\ \hline [7,5; 8) & 0,4 \\ \hline [8; 8,5) & 0,325 \\ \hline [8,5; 9) & 0,125 \\ \hline \end{array} \] 4. Tính trung vị của dãy số điểm: - Ta có tổng số học sinh là 40, do đó trung vị nằm giữa điểm thứ 20 và 21. - Xét các khoảng điểm: - Khoảng [7; 7,5) có 6 học sinh. - Khoảng [7,5; 8) có 16 học sinh, tổng là 6 + 16 = 22 học sinh. - Do đó, trung vị nằm trong khoảng [7,5; 8). Vì trung vị nằm trong khoảng [7,5; 8), ta có thể chọn giá trị trung bình của khoảng này làm trung vị: \[ \text{Trung vị} = \frac{7,5 + 8}{2} = 7,75 \] 5. Tính phương sai và độ lệch chuẩn: - Trước tiên, tính trung bình cộng của các điểm: \[ \bar{x} = \frac{(7,25 \times 6) + (7,75 \times 16) + (8,25 \times 13) + (8,75 \times 5)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{(43,5) + (124) + (107,25) + (43,75)}{40} = \frac{318,5}{40} = 7,9625 \] - Tiếp theo, tính phương sai: \[ s^2 = \frac{1}{40} \left( 6 \times (7,25 - 7,9625)^2 + 16 \times (7,75 - 7,9625)^2 + 13 \times (8,25 - 7,9625)^2 + 5 \times (8,75 - 7,9625)^2 \right) \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left( 6 \times (-0,7125)^2 + 16 \times (-0,2125)^2 + 13 \times (0,2875)^2 + 5 \times (0,7875)^2 \right) \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left( 6 \times 0,50765625 + 16 \times 0,04515625 + 13 \times 0,08265625 + 5 \times 0,62015625 \right) \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left( 3,0459375 + 0,7225 + 1,07453125 + 3,10078125 \right) \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \times 7,94375 = 0,19859375 \] - Cuối cùng, tính độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{0,19859375} \approx 0,4456 \] Kết luận: - Số học sinh của lớp 12D là 40 học sinh. - Bảng tần suất tương đối đã được lập. - Trung vị của dãy số điểm là 7,75. - Phương sai là 0,19859375. - Độ lệch chuẩn là khoảng 0,4456.