giải chi tiết đúng sai

Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. Phần a: Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 200m. 1. Tìm vận tốc ban đầu của ô tô: - Ban đầu, ô tô có vận tốc là 36 km/h. Chuyển đổi sang m/s: \[ v_0 = 36 \times \frac{1000}{3600} = 10 \text{ m/s} \] 2. Tìm quãng đường ô tô đi được trong 2 giây đầu tiên: - Trong 2 giây đầu tiên, ô tô di chuyển với vận tốc 10 m/s: \[ S_1 = v_0 \times t = 10 \times 2 = 20 \text{ m} \] 3. Quãng đường còn lại để nhập làn: - Tổng quãng đường là 200 m, đã đi được 20 m, nên quãng đường còn lại là: \[ S_{\text{còn lại}} = 200 - 20 = 180 \text{ m} \] 4. Phương trình vận tốc và quãng đường: - Vận tốc của ô tô khi tăng tốc là \( v(t) = at + b \). Biết rằng sau 12 giây ô tô nhập làn, tức là \( v(12) = v_{\text{nhập làn}} \). 5. Tính vận tốc khi nhập làn: - Vận tốc khi nhập làn là 20 km/h, chuyển đổi sang m/s: \[ v_{\text{nhập làn}} = 20 \times \frac{1000}{3600} = \frac{200}{36} \approx 5.56 \text{ m/s} \] - Do đó, \( v(12) = a \times 12 + b = 5.56 \). 6. Tính quãng đường trong giai đoạn tăng tốc: - Quãng đường \( S(t) \) trong giai đoạn tăng tốc là: \[ S(t) = \int_0^{t} v(t) \, dt = \int_0^{t} (at + b) \, dt = \left[ \frac{a t^2}{2} + bt \right]_0^{t} = \frac{a t^2}{2} + bt \] - Tại \( t = 12 \): \[ S(12) = \frac{a \times 12^2}{2} + b \times 12 = 72a + 12b \] - Biết rằng \( S(12) = 180 \): \[ 72a + 12b = 180 \] 7. Giải hệ phương trình: - Ta có hai phương trình: \[ 12a + b = 5.56 \] \[ 72a + 12b = 180 \] - Nhân phương trình thứ nhất với 6: \[ 72a + 6b = 33.36 \] - Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ 6b = 180 - 33.36 = 146.64 \] \[ b = \frac{146.64}{6} = 24.44 \] - Thay \( b \) vào phương trình \( 12a + b = 5.56 \): \[ 12a + 24.44 = 5.56 \] \[ 12a = 5.56 - 24.44 = -18.88 \] \[ a = \frac{-18.88}{12} = -1.5733 \] Phần b: Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5 giây thì phát hiện chướng ngoại vật cách đó 300m. Người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với \( a(t) = -3 \text{ m/s}^2 \). Khi đó ô tô dừng lại cách chứng ngoại vật 120m. 1. Tính vận tốc sau 24 giây: - Vận tốc sau 24 giây: \[ v(24) = a \times 24 + b = -1.5733 \times 24 + 24.44 = -37.7592 + 24.44 = -13.3192 \text{ m/s} \] 2. Tính quãng đường trong 5 giây tiếp theo: - Vận tốc duy trì trong 5 giây tiếp theo là 13.3192 m/s: \[ S_{\text{duy trì}} = 13.3192 \times 5 = 66.596 \text{ m} \] 3. Tính quãng đường còn lại: - Quãng đường còn lại là: \[ S_{\text{còn lại}} = 300 - 66.596 = 233.404 \text{ m} \] 4. Tính thời gian phanh: - Thời gian phanh \( t_p \) khi giảm tốc đều với \( a = -3 \text{ m/s}^2 \): \[ v_f = v_i + a t_p \] \[ 0 = 13.3192 - 3 t_p \] \[ t_p = \frac{13.3192}{3} = 4.4397 \text{ s} \] 5. Tính quãng đường phanh: - Quãng đường phanh: \[ S_{\text{phanh}} = v_i t_p + \frac{1}{2} a t_p^2 \] \[ S_{\text{phanh}} = 13.3192 \times 4.4397 + \frac{1}{2} \times (-3) \times (4.4397)^2 \] \[ S_{\text{phanh}} = 59.16 + \frac{1}{2} \times (-3) \times 19.70 \] \[ S_{\text{phanh}} = 59.16 - 29.55 = 29.61 \text{ m} \] 6. Kiểm tra quãng đường còn lại: - Quãng đường còn lại là: \[ S_{\text{còn lại}} = 233.404 - 29.61 = 203.794 \text{ m} \] Phần c: Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 20(km/h). Đã tính ở phần a, vận tốc khi nhập làn là 5.56 m/s. Phần d: Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200m là 480m. 1. Tính quãng đường trong 30 giây: - Quãng đường trong 2 giây đầu tiên: \[ S_1 = 20 \text{ m} \] - Quãng đường trong 24 giây tiếp theo: \[ S_{24} = \frac{a \times 24^2}{2} + b \times 24 = \frac{-1.5733 \times 576}{2} + 24.44 \times 24 = -454.7808 + 586.56 = 131.7792 \text{ m} \] - Quãng đường trong 5 giây tiếp theo: \[ S_{5} = 13.3192 \times 5 = 66.596 \text{ m} \] - Quãng đường phanh: \[ S_{\text{phanh}} = 29.61 \text{ m} \] 2. Tổng quãng đường: \[ S_{\text{tổng}} = 20 + 131.7792 + 66.596 + 29.61 = 247.9852 \text{ m} \] Do đó, tổng quãng đường là 247.9852 m, gần đúng 248 m. Kết luận: - Phần a: Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 200m. - Phần b: Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5 giây thì phát hiện chướng ngoại vật cách đó 300m. Người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với \( a(t) = -3 \text{ m/s}^2 \). Khi đó ô tô dừng lại cách chứng ngoại vật 120m. - Phần c: Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 20(km/h). - Phần d: Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200m là 480m. Câu 4: a) Ta có: $f(\pi)=2\cos \pi-\pi+\pi=2\times (-1)=-2$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: $f'(x)=(2\cos x-x+\pi)'=(2\cos x)'-(x)'+(\pi)'=-2\sin x-1$ c) Ta có: $f'(x)=0$ $\Leftrightarrow -2\sin x-1=0$ $\Leftrightarrow \sin x=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi $ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ Trên đoạn $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ ta có hai nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}$ và $x=\frac{5\pi }{6}$ d) Ta có: $f'(-\frac{\pi }{2})=1>0$ $f'(\frac{\pi }{2})=-3< 0$ Suy ra hàm số đồng biến trên $(-\frac{\pi }{2};-\frac{\pi }{6})$, nghịch biến trên $(-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{2})$ Mà $f(-\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi $ $f(\frac{\pi }{2})=-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=0$ Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ là $\pi $.