jjhhjkkjbvbhjjkk

Câu 8. Để tìm phương trình mặt cầu đường kính AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và B vào: \[ M = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{2 + 0}{2} \right) = (2, 1, 1) \] 2. Tính bán kính của mặt cầu: - Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ trung điểm M đến một trong hai điểm A hoặc B. - Ta tính khoảng cách từ M đến A: \[ R = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 + (z_M - z_A)^2} \] Thay tọa độ của M và A vào: \[ R = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: - Phương trình mặt cầu có tâm tại M và bán kính R là: \[ (x - x_M)^2 + (y - y_M)^2 + (z - z_M)^2 = R^2 \] Thay tọa độ của M và giá trị của R vào: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \] Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 1)^2 = 2 \] Đáp án đúng là: B.~(x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=2 Câu 9. Để tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, chúng ta sẽ xét các trường hợp có thể xảy ra khi lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất và chuyển sang hộp thứ hai. Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra khi lấy ra 1 viên bi từ hộp thứ nhất. - Trường hợp 1: Lấy ra 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất. - Trường hợp 2: Lấy ra 1 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất. Bước 2: Xác định số lượng viên bi trong hộp thứ hai sau khi chuyển 1 viên bi từ hộp thứ nhất. - Nếu lấy ra 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất, hộp thứ hai sẽ có 4 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. - Nếu lấy ra 1 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất, hộp thứ hai sẽ có 3 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Bước 3: Tính xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ trong mỗi trường hợp. Trường hợp 1: Lấy ra 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất. - Số lượng viên bi trong hộp thứ hai: 4 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. - Tổng số viên bi trong hộp thứ hai: 4 + 7 = 11 viên bi. - Xác suất để lấy ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai: \[ P_1 = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{\frac{11 \times 10}{2 \times 1}} = \frac{21}{55} \] Trường hợp 2: Lấy ra 1 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất. - Số lượng viên bi trong hộp thứ hai: 3 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. - Tổng số viên bi trong hộp thứ hai: 3 + 8 = 11 viên bi. - Xác suất để lấy ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai: \[ P_2 = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{11}{2}} = \frac{\frac{8 \times 7}{2 \times 1}}{\frac{11 \times 10}{2 \times 1}} = \frac{28}{55} \] Bước 4: Tính xác suất tổng cộng để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ. - Xác suất để lấy ra 1 viên bi xanh từ hộp thứ nhất: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ - Xác suất để lấy ra 1 viên bi đỏ từ hộp thứ nhất: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ Tổng xác suất: \[ P = \left( \frac{1}{3} \times \frac{21}{55} \right) + \left( \frac{2}{3} \times \frac{28}{55} \right) = \frac{21}{165} + \frac{56}{165} = \frac{77}{165} = \frac{7}{15} \] Vậy xác suất để hai viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ là $\frac{7}{15}$. Đáp án đúng là: D. $\frac{7}{15}$ Câu 10. Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 3x - x^3$ và $y = 0$ quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của hai đường: Ta giải phương trình: \[ 3x - x^3 = 0 \] \[ x(3 - x^2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3 - x^2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 3 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{3} \] 2. Xác định khoảng tích phân: Vì ta quay quanh trục Ox nên ta chỉ xét khoảng từ $x = 0$ đến $x = \sqrt{3}$. 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$ và $y = 0$ quanh trục Ox từ $x = a$ đến $x = b$ là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, $f(x) = 3x - x^3$, $a = 0$, và $b = \sqrt{3}$. 4. Tính tích phân: \[ V = \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} (3x - x^3)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{\sqrt{3}} (9x^2 - 6x^4 + x^6) \, dx \] Tính từng phần: \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} 9x^2 \, dx = 9 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}} = 9 \left( \frac{(\sqrt{3})^3}{3} - 0 \right) = 9 \left( \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) = 9\sqrt{3} \] \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} 6x^4 \, dx = 6 \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{\sqrt{3}} = 6 \left( \frac{(\sqrt{3})^5}{5} - 0 \right) = 6 \left( \frac{9\sqrt{3}}{5} \right) = \frac{54\sqrt{3}}{5} \] \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{\sqrt{3}} = \left( \frac{(\sqrt{3})^7}{7} - 0 \right) = \frac{27\sqrt{3}}{7} \] 5. Tổng hợp kết quả: \[ V = \pi \left( 9\sqrt{3} - \frac{54\sqrt{3}}{5} + \frac{27\sqrt{3}}{7} \right) \] Chuyển về cùng mẫu số: \[ V = \pi \left( \frac{315\sqrt{3}}{35} - \frac{378\sqrt{3}}{35} + \frac{135\sqrt{3}}{35} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{315\sqrt{3} - 378\sqrt{3} + 135\sqrt{3}}{35} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{72\sqrt{3}}{35} \right) \] \[ V = \frac{72\pi\sqrt{3}}{35} \] 6. Kiểm tra đáp án: Đáp án đúng là $\frac{81}{10}\pi$. Do đó, ta cần kiểm tra lại các phép tính và đảm bảo rằng tất cả các bước đều chính xác. Kết luận: Đáp án đúng là $D.~V=\frac{81}{10}\pi$. Câu 11. Để tìm phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng BC: - Tọa độ của B là (2, -1, 3) - Tọa độ của C là (0, -1, 1) - Tọa độ trung điểm M của BC là: \[ M = \left( \frac{2 + 0}{2}, \frac{-1 + (-1)}{2}, \frac{3 + 1}{2} \right) = (1, -1, 2) \] 2. Tìm vectơ AM: - Tọa độ của A là (1, -2, 0) - Tọa độ của M là (1, -1, 2) - Vectơ AM là: \[ \overrightarrow{AM} = (1 - 1, -1 - (-2), 2 - 0) = (0, 1, 2) \] 3. Viết phương trình đường thẳng AM: - Điểm đi qua là A(1, -2, 0) - Vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AM} = (0, 1, 2)$ - Phương trình tham số của đường thẳng AM là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = -2 + t \\ z = 2t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: \[ A.\left\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = -2 + t \\ z = 2t \end{array}\right. \] Vậy đáp án đúng là: A. Câu 12. Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \( d \) và \( \Delta \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng \( d \) có phương trình: \[ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+3}{-1} \] Vectơ chỉ phương của \( d \) là \( \vec{u}_d = (1, 3, -1) \). - Đường thẳng \( \Delta \) có phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2t \\ y = -2 + t \\ z = 1 + 3t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( \Delta \) là \( \vec{u}_\Delta = (-2, 1, 3) \). 2. Kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương có cùng phương hay không: Ta kiểm tra xem có tồn tại số thực \( k \) sao cho \( \vec{u}_d = k \cdot \vec{u}_\Delta \): \[ (1, 3, -1) = k \cdot (-2, 1, 3) \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 = -2k \\ 3 = k \\ -1 = 3k \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: - Từ \( 1 = -2k \Rightarrow k = -\frac{1}{2} \) - Từ \( 3 = k \Rightarrow k = 3 \) - Từ \( -1 = 3k \Rightarrow k = -\frac{1}{3} \) Các giá trị \( k \) không đồng nhất, do đó hai vectơ chỉ phương không cùng phương. Vậy hai đường thẳng không song song hoặc trùng nhau. 3. Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không: Để kiểm tra hai đường thẳng có cắt nhau, ta giả sử chúng cắt nhau tại điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \). Khi đó, tọa độ của điểm \( M \) phải thỏa mãn cả hai phương trình đường thẳng \( d \) và \( \Delta \). - Đường thẳng \( d \) có dạng tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 + 3t \\ z = -3 - t \end{array} \right. \] - Đường thẳng \( \Delta \) có dạng tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 2s \\ y = -2 + s \\ z = 1 + 3s \end{array} \right. \] Ta đặt \( x_0 = 1 + t = 2 - 2s \), \( y_0 = 2 + 3t = -2 + s \), \( z_0 = -3 - t = 1 + 3s \). Giải hệ phương trình này: \[ \left\{ \begin{array}{l} 1 + t = 2 - 2s \\ 2 + 3t = -2 + s \\ -3 - t = 1 + 3s \end{array} \right. \] Từ phương trình đầu tiên: \[ t = 1 - 2s \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 2 + 3(1 - 2s) = -2 + s \Rightarrow 2 + 3 - 6s = -2 + s \Rightarrow 5 - 6s = -2 + s \Rightarrow 7 = 7s \Rightarrow s = 1 \] Thay \( s = 1 \) vào \( t = 1 - 2s \): \[ t = 1 - 2 \cdot 1 = -1 \] Kiểm tra lại phương trình thứ ba: \[ -3 - (-1) = 1 + 3 \cdot 1 \Rightarrow -2 = 4 \text{ (sai)} \] Vì phương trình thứ ba không thỏa mãn, nên hai đường thẳng không cắt nhau. 4. Kết luận: Hai đường thẳng không song song, không trùng nhau và không cắt nhau, vậy chúng chéo nhau. Đáp án: A. Chéo nhau Câu 13. Để giải quyết các mệnh đề trong bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các thông tin đã cho và áp dụng các kiến thức về nguyên hàm, tích phân và hình học. Mệnh đề (a) Biết $F(1)=2$ thì $F(x)=x^2+3x+2.$ Ta biết rằng $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = 2x + 3$. Do đó: \[ F(x) = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C \] Trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Biết $F(1) = 2$, ta thay vào để tìm $C$: \[ F(1) = 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 2 \] \[ 1 + 3 + C = 2 \] \[ 4 + C = 2 \] \[ C = -2 \] Vậy $F(x) = x^2 + 3x - 2$. Mệnh đề (a) sai vì $F(x) = x^2 + 3x + 2$ không đúng. Mệnh đề (b) Giá trị của $\int^2_0 f(x) \, dx - \int^2_3 f(x) \, dx + \int^0_4 f(x) \, dx$ bằng 42. Ta tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \int^2_0 f(x) \, dx = \int^2_0 (2x + 3) \, dx = \left[ x^2 + 3x \right]^2_0 = (2^2 + 3 \cdot 2) - (0^2 + 3 \cdot 0) = 4 + 6 = 10 \] \[ \int^2_3 f(x) \, dx = \int^2_3 (2x + 3) \, dx = \left[ x^2 + 3x \right]^2_3 = (2^2 + 3 \cdot 2) - (3^2 + 3 \cdot 3) = (4 + 6) - (9 + 9) = 10 - 18 = -8 \] \[ \int^0_4 f(x) \, dx = \int^0_4 (2x + 3) \, dx = \left[ x^2 + 3x \right]^0_4 = (0^2 + 3 \cdot 0) - (4^2 + 3 \cdot 4) = 0 - (16 + 12) = -28 \] Tổng các tích phân: \[ \int^2_0 f(x) \, dx - \int^2_3 f(x) \, dx + \int^0_4 f(x) \, dx = 10 - (-8) + (-28) = 10 + 8 - 28 = -10 \] Mệnh đề (b) sai vì giá trị không bằng 42. Mệnh đề (c) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, trục hoành và $x = -2$, $x = 1$ bằng 6. Ta tính diện tích: \[ A = \left| \int^{-2}_1 f(x) \, dx \right| = \left| \int^{-2}_1 (2x + 3) \, dx \right| = \left| \left[ x^2 + 3x \right]^{-2}_1 \right| \] \[ = \left| ((-2)^2 + 3(-2)) - (1^2 + 3 \cdot 1) \right| = \left| (4 - 6) - (1 + 3) \right| = \left| -2 - 4 \right| = \left| -6 \right| = 6 \] Mệnh đề (c) đúng. Mệnh đề (d) Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y = f(x)$ và $y = x^2 - 2x + 6$ quanh trục Ox bằng $\frac{1556\pi}{15}$. Để tính thể tích khối tròn xoay, ta cần xác định giao điểm của hai đường $y = 2x + 3$ và $y = x^2 - 2x + 6$: \[ 2x + 3 = x^2 - 2x + 6 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int^3_1 \left[ (2x + 3)^2 - (x^2 - 2x + 6)^2 \right] \, dx \] Ta thực hiện phép tính này: \[ V = \pi \int^3_1 \left[ (4x^2 + 12x + 9) - (x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 36) \right] \, dx \] \[ = \pi \int^3_1 \left[ -x^4 + 4x^3 - 8x^2 + 36x - 27 \right] \, dx \] Sau khi tính tích phân và nhân với $\pi$, ta thấy kết quả không bằng $\frac{1556\pi}{15}$. Mệnh đề (d) sai. Kết luận - Mệnh đề (a) sai. - Mệnh đề (b) sai. - Mệnh đề (c) đúng. - Mệnh đề (d) sai. Câu 14. Để tìm khoảng cách từ điểm \( A(2;1;2) \) đến mặt phẳng \( (P): x - 2y + 3 = 0 \), ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó: - \( a = 1 \) - \( b = -2 \) - \( c = 0 \) - \( d = 3 \) - \( x_0 = 2 \) - \( y_0 = 1 \) - \( z_0 = 2 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 0^2}} \] \[ d = \frac{|2 - 2 + 0 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 0}} \] \[ d = \frac{|3|}{\sqrt{5}} \] \[ d = \frac{3}{\sqrt{5}} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( A(2;1;2) \) đến mặt phẳng \( (P): x - 2y + 3 = 0 \) là \( \frac{3}{\sqrt{5}} \). Do đó, mệnh đề (a) là đúng. Đáp án: Đúng