Làm chi tiết

Câu 6: Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm I trên đoạn AC. Vì $AC = 4AI$, nên ta có: \[ AI = \frac{AC}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, ta có: \[ IC = AC - AI = 2\sqrt{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Tiếp theo, ta xác định tọa độ của các điểm trong hệ tọa độ Oxyz, với O là gốc tọa độ tại A, Ox dọc theo AB, Oy dọc theo AD và Oz dọc theo SA. - A(0, 0, 0) - B(2, 0, 0) - D(0, 2, 0) - C(2, 2, 0) - I nằm trên AC, do đó tọa độ của I là $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)$ Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là I, do đó tọa độ của S là $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, z_S\right)$. Ta biết rằng $SA = 2\sqrt{2}$, nên ta có: \[ SA^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + z_S^2 = 8 \] \[ \frac{2}{4} + \frac{2}{4} + z_S^2 = 8 \] \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + z_S^2 = 8 \] \[ 1 + z_S^2 = 8 \] \[ z_S^2 = 7 \] \[ z_S = \sqrt{7} \] Vậy tọa độ của S là $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{7}\right)$. Bây giờ, ta tính khoảng cách giữa đường thẳng AD và SB. Ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: \[ d = \frac{|(\vec{AD} \times \vec{SB}) \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AD} \times \vec{SB}|} \] Ta có: \[ \vec{AD} = (0, 2, 0) \] \[ \vec{SB} = \left(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 - \sqrt{7}\right) = \left(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\sqrt{7}\right) \] Tính tích vector: \[ \vec{AD} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} & -\sqrt{7} \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot (-\sqrt{7}) - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 2 \cdot (2 - \frac{\sqrt{2}}{2})) \] \[ = -2\sqrt{7} \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} - 2(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \mathbf{k} \] \[ = -2\sqrt{7} \mathbf{i} - 2(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \mathbf{k} \] \[ = -2\sqrt{7} \mathbf{i} - 2(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \mathbf{k} \] \[ = -2\sqrt{7} \mathbf{i} - 2(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \mathbf{k} \] \[ = -2\sqrt{7} \mathbf{i} - 2(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \mathbf{k} \] Tính độ dài của tích vector: \[ |\vec{AD} \times \vec{SB}| = \sqrt{(-2\sqrt{7})^2 + 0^2 + (-2(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}))^2} \] \[ = \sqrt{28 + 4(2 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2} \] Cuối cùng, ta tính khoảng cách: \[ d = \frac{|(\vec{AD} \times \vec{SB}) \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AD} \times \vec{SB}|} \] Sau khi thực hiện các phép tính, ta có kết quả cuối cùng là khoảng cách giữa đường thẳng AD và SB là khoảng 1.94 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp số: 1.94