Xdfffrrrrrrr

Câu 1. Để tìm vận tốc nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). Do đó: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - t^2 + 9t\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm: \[ v(t) = t^2 - 2t + 9 \] 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của vận tốc trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 10: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( v(t) = t^2 - 2t + 9 \) trên đoạn [0, 10], chúng ta cần tìm điểm cực tiểu của hàm số này. - Tìm đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 2t + 9) = 2t - 2 \] - Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 2t - 2 = 0 \implies t = 1 \] - Kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ v(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 9 = 9 \] \[ v(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 9 = 1 - 2 + 9 = 8 \] \[ v(10) = 10^2 - 2 \cdot 10 + 9 = 100 - 20 + 9 = 89 \] Từ các giá trị trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( v(t) \) trong khoảng thời gian 0 ≤ t ≤ 10 là 8, đạt được khi \( t = 1 \). Vậy vận tốc nhỏ nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây là 8 m/s. Đáp án đúng là B. 8. Câu 2. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^2 - x - 2 \) tại điểm có hoành độ \( x = 1 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = x^2 - x - 2 \). \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - x - 2) = 2x - 1 \] Bước 2: Thay \( x = 1 \) vào đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. \[ y'(1) = 2(1) - 1 = 2 - 1 = 1 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = x^2 - x - 2 \) tại điểm có hoành độ \( x = 1 \) là 1. Đáp án đúng là: A. 1. Câu 3. Để tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} \), ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u(x) = 2x - 1 \) - \( v(x) = x + 1 \) Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \): - \( u'(x) = 2 \) - \( v'(x) = 1 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x + 1) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} \] Rút gọn biểu thức ở tử số: \[ f'(x) = \frac{2x + 2 - 2x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( f(x) \) là: \[ f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~f'(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} \] Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y = 3x^3 + x^2 + 1 \) và tìm các giá trị của \( x \) sao cho đạo hàm này nhỏ hơn hoặc bằng 0. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y \). \[ y' = \frac{d}{dx}(3x^3 + x^2 + 1) = 9x^2 + 2x \] Bước 2: Giải bất phương trình \( y' \leq 0 \). \[ 9x^2 + 2x \leq 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình \( 9x^2 + 2x = 0 \). \[ x(9x + 2) = 0 \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 9x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{9} \] Bước 4: Xác định dấu của \( y' \) trên các khoảng được xác định bởi các nghiệm \( x = 0 \) và \( x = -\frac{2}{9} \). - Khi \( x < -\frac{2}{9} \), chọn \( x = -1 \): \[ y' = 9(-1)^2 + 2(-1) = 9 - 2 = 7 > 0 \] - Khi \( -\frac{2}{9} < x < 0 \), chọn \( x = -\frac{1}{10} \): \[ y' = 9\left(-\frac{1}{10}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{10}\right) = 9 \cdot \frac{1}{100} - \frac{2}{10} = \frac{9}{100} - \frac{20}{100} = -\frac{11}{100} < 0 \] - Khi \( x > 0 \), chọn \( x = 1 \): \[ y' = 9(1)^2 + 2(1) = 9 + 2 = 11 > 0 \] Bước 5: Kết luận các giá trị của \( x \) sao cho \( y' \leq 0 \). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( y' \leq 0 \) khi \( -\frac{2}{9} \leq x \leq 0 \). Vậy tập hợp các giá trị của \( x \) thỏa mãn điều kiện \( y' \leq 0 \) là: \[ [-\frac{2}{9}, 0] \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~[-\frac{2}{9};0] \] Câu 5. Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x + 3$ tại điểm $M(1, 2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x + 3) = 3x^2 - 2 \] 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $M(1, 2)$: Thay $x = 1$ vào đạo hàm: \[ y'(1) = 3(1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M(1, 2)$ là $k = 1$. 3. Lập phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, và $k = 1$ vào phương trình trên: \[ y - 2 = 1(x - 1) \] Rút gọn phương trình: \[ y - 2 = x - 1 \implies y = x + 1 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 2x + 3$ tại điểm $M(1, 2)$ là: \[ y = x + 1 \] Đáp án đúng là: $A.~y = x + 1$.