Fffffffffff

Câu 6. Để tính đạo hàm của hàm số $y = (x - 2)\sqrt{x^2 + 1}$, ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số. Công thức đạo hàm của tích hai hàm số là: \[ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \] Trong đó: - \( u = x - 2 \) - \( v = \sqrt{x^2 + 1} \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \): \[ u' = 1 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( v \): \[ v = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}} \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa: \[ v' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Bước 3: Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số: \[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' \] \[ y' = 1 \cdot \sqrt{x^2 + 1} + (x - 2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: \[ y' = \sqrt{x^2 + 1} + \frac{(x - 2)x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{(x^2 + 1) + (x^2 - 2x)}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{x^2 + 1 + x^2 - 2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 2x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~y^\prime=\frac{2x^2-2x+1}{\sqrt{x^2+1}} \] Câu 7. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x^3}3+3x^2-2$ với hệ số góc $k = -9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 2\right)' = x^2 + 6x \] 2. Xác định điểm tiếp xúc: Tiếp tuyến có hệ số góc $k = -9$, do đó ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho đạo hàm bằng $-9$: \[ x^2 + 6x = -9 \] Giải phương trình này: \[ x^2 + 6x + 9 = 0 \] \[ (x + 3)^2 = 0 \] \[ x = -3 \] 3. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: Thay $x = -3$ vào hàm số để tìm $y$: \[ y = \frac{(-3)^3}{3} + 3(-3)^2 - 2 = \frac{-27}{3} + 3(9) - 2 = -9 + 27 - 2 = 16 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(-3, 16)$. 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ có dạng: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $x_0 = -3$, $y_0 = 16$, và $k = -9$ vào phương trình trên: \[ y - 16 = -9(x + 3) \] Vậy phương trình tiếp tuyến là: \[ y - 16 = -9(x + 3) \] Đáp án đúng là: $A.~y-16=-9(x+3).$ Câu 8. Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \sin x + \cos x$, ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng hai hàm số và đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản. Bước 1: Xác định đạo hàm của mỗi thành phần trong tổng: - Đạo hàm của $\sin x$ là $\cos x$. - Đạo hàm của $\cos x$ là $-\sin x$. Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của tổng: \[ y' = (\sin x)' + (\cos x)' \] Bước 3: Thay các đạo hàm đã tìm được vào: \[ y' = \cos x - \sin x \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = \sin x + \cos x$ là: \[ y' = \cos x - \sin x \] Đáp án đúng là: \[ D.~y^\prime=\cos x-\sin x. \] Câu 9. Để tính đạo hàm của hàm số $y = -x^5 + x^3 + 2x^2$, ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và công thức đạo hàm của lũy thừa. 1. Tính đạo hàm từng hạng tử: - Đạo hàm của $-x^5$ là $-5x^4$. - Đạo hàm của $x^3$ là $3x^2$. - Đạo hàm của $2x^2$ là $4x$. 2. Kết hợp các đạo hàm lại: \[ y' = (-5x^4) + (3x^2) + (4x) \] Vậy đạo hàm của hàm số $y = -x^5 + x^3 + 2x^2$ là: \[ y' = -5x^4 + 3x^2 + 4x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~y' = -5x^4 + 3x^2 + 4x \] Câu 10. Để tính đạo hàm của hàm số $y = \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$, ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của hàm tan và chuỗi đạo hàm. Bước 1: Xác định đạo hàm của hàm tan: \[ y = \tan(u) \implies y' = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u' \] Bước 2: Áp dụng vào hàm số đã cho: \[ y = \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) \] Ở đây, $u = \frac{\pi}{4} - x$, vậy $u' = -1$. Bước 3: Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right)} \cdot (-1) \] \[ y' = -\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right)} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~y' = -\frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - x\right)}. \]