khhjjhjjjjjjjjjj

Câu 1: Câu hỏi yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7^x \). Ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \): \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln a \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng vào bài toán cụ thể: \[ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~\int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Câu 2: Mặt phẳng $(P):~x-3y-4z+1=0$ có dạng tổng quát là $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$, và $d = 1$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là $(a, b, c)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(1, -3, -4)$. Vậy đáp án đúng là: $A.~(1;-3;-4).$ Đáp số: Đáp án đúng là A. Câu 3: Để xác định phát biểu đúng về xác suất của biến cố A với điều kiện của biến cố B đã xảy ra, ta cần dựa vào công thức xác suất điều kiện. Công thức này được viết dưới dạng: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(A|B) \) là xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra. - \( P(AB) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: A. Nếu \( P(A) > 0 \) thì \( P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(A)} \). Phát biểu này sai vì theo công thức xác suất điều kiện, ta phải chia \( P(AB) \) cho \( P(B) \), không phải \( P(A) \). B. Nếu \( P(AB) > 0 \) thì \( P(AB) = \frac{P(A)}{P(AB)} \). Phát biểu này sai vì \( P(AB) \) không thể bằng \( \frac{P(A)}{P(AB)} \). Theo công thức xác suất điều kiện, \( P(AB) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra, không liên quan trực tiếp đến \( \frac{P(A)}{P(AB)} \). C. Nếu \( P(AB) > 0 \) thì \( P(AB) = \frac{P(B)}{P(AB)} \). Phát biểu này cũng sai vì \( P(AB) \) không thể bằng \( \frac{P(B)}{P(AB)} \). Tương tự như trên, \( P(AB) \) là xác suất của cả hai biến cố A và B cùng xảy ra, không liên quan trực tiếp đến \( \frac{P(B)}{P(AB)} \). D. Nếu \( P(B) > 0 \) thì \( P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \). Phát biểu này đúng vì theo công thức xác suất điều kiện, nếu \( P(B) > 0 \), thì xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng cách chia \( P(AB) \) cho \( P(B) \). Vậy phát biểu đúng là: D. Nếu \( P(B) > 0 \) thì \( P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \). Câu 4: Để tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC), ta cần sử dụng tính chất của vectơ pháp tuyến. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Ta xét từng đáp án: A. $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ - Vectơ này không phải là vectơ pháp tuyến vì nó không chắc chắn vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. B. $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ - Đây là tích vector của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Tích vector của hai vectơ luôn tạo ra một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu. Do đó, $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). C. $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB}$ - Vectơ này không phải là vectơ pháp tuyến vì nó nằm trong mặt phẳng (ABC) và không vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. D. $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ - Đây là tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Tích vô hướng cho kết quả là một số thực, không phải là một vectơ, do đó không thể là vectơ pháp tuyến. Vậy đáp án đúng là: B. $\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ Câu 5: Để xác định mặt phẳng nào trong các lựa chọn vuông góc với mặt phẳng $(P):~x-3y+2z-4=0$, ta cần kiểm tra xem vector pháp tuyến của mỗi mặt phẳng có vuông góc với vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ hay không. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n}_P = (1, -3, 2)$. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng: 1. Mặt phẳng $A:~5x + y - z + 1 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_A = (5, 1, -1)$. Ta tính tích vô hướng: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_A = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 5 - 3 - 2 = 0 \] Vì tích vô hướng bằng 0, nên $\vec{n}_P$ vuông góc với $\vec{n}_A$. Vậy mặt phẳng $A$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. 2. Mặt phẳng $B:~5x - y - z + 6 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_B = (5, -1, -1)$. Ta tính tích vô hướng: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_B = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) = 5 + 3 - 2 = 6 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên $\vec{n}_P$ không vuông góc với $\vec{n}_B$. Vậy mặt phẳng $B$ không vuông góc với mặt phẳng $(P)$. 3. Mặt phẳng $C:~5x - y - z + 1 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_C = (5, -1, -1)$. Ta tính tích vô hướng: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_C = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) = 5 + 3 - 2 = 6 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên $\vec{n}_P$ không vuông góc với $\vec{n}_C$. Vậy mặt phẳng $C$ không vuông góc với mặt phẳng $(P)$. 4. Mặt phẳng $D:~5x + y + z + 1 = 0$ có vector pháp tuyến $\vec{n}_D = (5, 1, 1)$. Ta tính tích vô hướng: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_D = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 5 - 3 + 2 = 4 \] Vì tích vô hướng không bằng 0, nên $\vec{n}_P$ không vuông góc với $\vec{n}_D$. Vậy mặt phẳng $D$ không vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Kết luận: Mặt phẳng $A:~5x + y - z + 1 = 0$ là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(P):~x - 3y + 2z - 4 = 0$. Câu 6: Phương trình mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$ trong không gian Oxyz được viết dưới dạng: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Lý do: - $(x - a)^2$ đại diện cho khoảng cách vuông giữa tọa độ $x$ của điểm trên mặt cầu và tọa độ $x$ của tâm mặt cầu. - $(y - b)^2$ đại diện cho khoảng cách vuông giữa tọa độ $y$ của điểm trên mặt cầu và tọa độ $y$ của tâm mặt cầu. - $(z - c)^2$ đại diện cho khoảng cách vuông giữa tọa độ $z$ của điểm trên mặt cầu và tọa độ $z$ của tâm mặt cầu. - Tổng của ba khoảng cách vuông này phải bằng bình phương bán kính $R^2$ để đảm bảo rằng điểm đó nằm trên mặt cầu. Do đó, phương án đúng là: \[ B.~(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Câu 7: Để tính diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính diện tích giữa hai đường cong. Bước 1: Xác định phương trình của hai đường cong. - Đường cong trên là \( y = x^2 \). - Đường thẳng là \( y = x \). Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường cong. - Giải phương trình \( x^2 = x \): \[ x^2 - x = 0 \] \[ x(x - 1) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = 1 \] Bước 3: Tính diện tích S bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hai hàm từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). \[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx \] Bước 4: Tính tích phân. \[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \] \[ S = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - (0) \] \[ S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \] \[ S = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \] \[ S = \frac{1}{6} \] Vậy diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ là: \[ S = \frac{1}{6} \] Đáp án: Diện tích S của hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ là \( \frac{1}{6} \).