hggjjbbkkhvbjk

Câu 8: Để kiểm tra xem điểm nào thuộc đường thẳng \(d\), ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\) và kiểm tra xem có thỏa mãn hay không. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 - t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng điểm: 1. Kiểm tra điểm \(A (-3; -1; -3)\): - \(x = -3\) (không thỏa mãn \(x = 3\)) - Do đó, điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(B (0; -1; 1)\): - \(x = 0\) (không thỏa mãn \(x = 3\)) - Do đó, điểm \(B\) không thuộc đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(C (0; 1; -1)\): - \(x = 0\) (không thỏa mãn \(x = 3\)) - Do đó, điểm \(C\) không thuộc đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(D (3; k; 3)\): - \(x = 3\) (thỏa mãn \(x = 3\)) - \(y = k\) (thay vào \(y = 1 - t\)), ta có \(k = 1 - t\) - \(z = 3\) (thay vào \(z = 3 + t\)), ta có \(3 = 3 + t\) suy ra \(t = 0\) - Thay \(t = 0\) vào \(y = 1 - t\), ta có \(y = 1\) - Vậy \(k = 1\) Do đó, điểm \(D (3; 1; 3)\) thuộc đường thẳng \(d\). Kết luận: Điểm thuộc đường thẳng \(d\) là \(D (3; 1; 3)\). Câu 9: Câu hỏi: Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(2)=-10,F(-4)=8.$ Tính $\int^2_{-4} f(x)dx.$ A. 2. B. 80. C. -2. D. -18. Câu trả lời: Để tính $\int^2_{-4} f(x)dx$, ta sử dụng công thức tính nguyên hàm xác định: \[ \int^b_a f(x)dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \int^2_{-4} f(x)dx = F(2) - F(-4) \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ F(2) = -10 \quad \text{và} \quad F(-4) = 8 \] Do đó: \[ \int^2_{-4} f(x)dx = (-10) - 8 = -18 \] Vậy đáp án đúng là: D. -18 Đáp số: D. -18 Câu 10: Để tìm tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z+1=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương: Ta cần hoàn thành bình phương cho các biến \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình mặt cầu. \[ x^2 - 4x + y^2 - 2y + z^2 + 4z + 1 = 0 \] Ta nhóm các hạng tử liên quan đến mỗi biến lại và hoàn thành bình phương: \[ (x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + (z^2 + 4z) + 1 = 0 \] Ta thêm và bớt các hằng số để hoàn thành bình phương: \[ (x^2 - 4x + 4 - 4) + (y^2 - 2y + 1 - 1) + (z^2 + 4z + 4 - 4) + 1 = 0 \] Điều này dẫn đến: \[ (x - 2)^2 - 4 + (y - 1)^2 - 1 + (z + 2)^2 - 4 + 1 = 0 \] Gộp các hằng số lại: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 - 8 = 0 \] Do đó: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 8 \] 2. Nhận diện tâm và bán kính của mặt cầu: Phương trình trên có dạng tổng bình phương chuẩn của mặt cầu \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2\), trong đó tâm của mặt cầu là \((a, b, c)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình chuẩn, ta thấy tâm của mặt cầu là \((2, 1, -2)\) và bán kính là \(\sqrt{8}\). Do đó, tâm của mặt cầu \((S)\) là điểm có tọa độ \((2, 1, -2)\). Đáp án đúng là: C. (2, 1, -2). Câu 11: Để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\), ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Mặt phẳng \((P)\) có phương trình: \[6x + 2y - 8z - 3 = 0\] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là: \[\vec{n} = (6, 2, -8)\] Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[(6, 2, -8)\] Ta kiểm tra các đáp án đã cho để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): A. \((-3, -1, -3)\) B. \((3, 1, -4)\) C. \((3, 1, 3)\) D. \((0, 1, -1)\) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án B \((3, 1, -4)\) là đúng vì nó là bội của vectơ pháp tuyến \((6, 2, -8)\): \[ (3, 1, -4) = \frac{1}{2} \times (6, 2, -8) \] Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là: \[ \boxed{(3, 1, -4)} \] Câu 12: Công thức xác suất toàn phần cho xác suất của biến cố A dựa trên các biến cố con B và $\overline{B}$ (phản biến cố của B) là: \[ P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}) \] Trong đó: - \( P(A|B) \) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B đã xảy ra. - \( P(A|\overline{B}) \) là xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B không xảy ra. Do đó, công thức xác suất toàn phần đúng là: \[ C.~P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}). \] Đáp án đúng là: C. Câu 1. a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB: Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB được tính bằng công thức: \[ I = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và B vào: \[ I = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{5 + (-3)}{2}, \frac{-3 + 1}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{2}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (2, 1, -1) \] b) Độ dài đoạn thẳng AB: Độ dài đoạn thẳng AB được tính bằng công thức: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \] Thay tọa độ của A và B vào: \[ AB = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-3 - 5)^2 + (1 - (-3))^2} = \sqrt{2^2 + (-8)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 64 + 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21} \] c) Bán kính của mặt cầu có đường kính AB: Bán kính R của mặt cầu có đường kính AB là: \[ R = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{21}}{2} = \sqrt{21} \] d) Phương trình mặt cầu có đường kính AB: Phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R là: \[ (x - x_I)^2 + (y - y_I)^2 + (z - z_I)^2 = R^2 \] Thay tọa độ tâm I và bán kính R vào: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = (\sqrt{21})^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 21 \] Đáp số: a) Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là \( I(2;1;-1) \). b) Độ dài đoạn thẳng AB bằng \( 2\sqrt{21} \). c) Bán kính của mặt cầu có đường kính AB là \( \sqrt{21} \). d) Phương trình mặt cầu có đường kính AB là \( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 1)^2 = 21 \). Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần một cách chi tiết. Phần a) - Ta biết rằng $P(\overline{A}) = 0,4$, do đó $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,4 = 0,6$. - Ta cũng biết rằng $P(B) = 0,8$, do đó $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$. Phần b) - Ta cần tính $P(A | B)$, xác suất của biến cố A xảy ra khi biết rằng biến cố B đã xảy ra. - Công thức xác suất điều kiện là $P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. - Thay vào công thức, ta có: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,4}{0,8} = 0,5 = \frac{1}{2} \] Phần c) - Ta cần tính $P(\overline{B} | A)$, xác suất của biến cố $\overline{B}$ xảy ra khi biết rằng biến cố A đã xảy ra. - Công thức xác suất điều kiện là $P(\overline{B} | A) = \frac{P(\overline{B} \cap A)}{P(A)}$. - Ta biết rằng $P(A) = 0,6$ và $P(A \cap B) = 0,4$. Do đó, $P(\overline{B} \cap A) = P(A) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,4 = 0,2$. - Thay vào công thức, ta có: \[ P(\overline{B} | A) = \frac{P(\overline{B} \cap A)}{P(A)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3} \] - Kết luận: Đáp án c) sai vì $P(\overline{B} | A) = \frac{1}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$. Phần d) - Ta cần tính $P(\overline{A} \cap B)$, xác suất của biến cố $\overline{A}$ và B cùng xảy ra. - Ta biết rằng $P(B) = 0,8$ và $P(A \cap B) = 0,4$. Do đó, $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,8 - 0,4 = 0,4$. - Kết luận: Đáp án d) sai vì $P(\overline{A} \cap B) = 0,4$, không phải $\frac{3}{5}$. Kết luận cuối cùng: - Đáp án đúng là phần b) $P(A | B) = \frac{1}{2}$. Câu 1. Để tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + x - 1 \), \( y = x^4 + x - 1 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định khoảng cách giữa hai đường cong Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \) là: \[ A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = x^4 + x - 1 \) và \( g(x) = x^2 + x - 1 \). Do đó, khoảng cách giữa hai đường cong là: \[ f(x) - g(x) = (x^4 + x - 1) - (x^2 + x - 1) = x^4 - x^2 \] Bước 2: Tính diện tích Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường trên từ \( x = -1 \) đến \( x = 1 \) là: \[ A = \int_{-1}^{1} (x^4 - x^2) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân Chúng ta sẽ tính tích phân từng phần: \[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx - \int_{-1}^{1} x^2 \, dx \] Tính \(\int_{-1}^{1} x^4 \, dx\): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] Do đó, \[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \] Tính \(\int_{-1}^{1} x^2 \, dx\): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Do đó, \[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] Bước 4: Kết hợp kết quả \[ A = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} = \frac{6}{15} - \frac{10}{15} = -\frac{4}{15} \] Do diện tích không thể âm, chúng ta lấy giá trị tuyệt đối: \[ A = \left| -\frac{4}{15} \right| = \frac{4}{15} \approx 0.27 \] Đáp số Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + x - 1 \), \( y = x^4 + x - 1 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \) là: \[ \boxed{0.27} \]