Chon. Đúng sai

Câu 1: Để giải quyết các khẳng định trong bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) $(SBD) \perp (SAC)$ - Ta biết rằng $SA \perp (ABCD)$, do đó $SA \perp AC$. - Mặt khác, vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \perp BD$ tại tâm $O$ của hình thoi. - Do đó, $AC$ vuông góc với cả $SA$ và $BD$, suy ra $AC \perp (SBD)$. - Vì $AC \subset (SAC)$, nên $(SBD) \perp (SAC)$. Kết luận: Khẳng định a) là đúng. Khẳng định b) $SD \perp AB$ - Ta xét tam giác $SAD$. Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp AD$. - Ta cũng biết rằng $AD = a$ và $SA = \frac{a}{2}$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác $SAD$: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] - Ta xét tam giác $SDB$. Vì $BD = a$ (do $ABCD$ là hình thoi), ta có: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] - Ta thấy rằng $SD = SB = \frac{a\sqrt{5}}{2}$, do đó tam giác $SDB$ là tam giác cân tại $S$. - Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB \parallel CD$. Do đó, $AB \perp SD$ không thể xảy ra. Kết luận: Khẳng định b) là sai. Khẳng định c) Số đo của góc phẳng nhị diện $[S, CD, A]$ bằng $30^\circ$ - Góc phẳng nhị diện $[S, CD, A]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ACD)$. - Ta xét tam giác $SCD$. Vì $SA \perp (ABCD)$ nên $SA \perp CD$. - Ta cũng biết rằng $CD = a$ và $SA = \frac{a}{2}$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác $SCD$: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] - Ta xét tam giác $SCA$. Vì $SA \perp AC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ACD)$ là góc giữa $SA$ và $CD$. - Ta thấy rằng góc giữa $SA$ và $CD$ là góc vuông, do đó góc phẳng nhị diện $[S, CD, A]$ là $90^\circ$. Kết luận: Khẳng định c) là sai. Khẳng định d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{8}$ - Ta xét khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$. Vì $AB \parallel CD$ và $CD \subset (SCD)$, nên khoảng cách giữa $AB$ và $SC$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$. - Ta xét tam giác $SAC$. Vì $SA \perp AC$ nên ta có: \[ SA = \frac{a}{2}, \quad AC = a \] - Ta thấy rằng khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $SC$ trong tam giác $SAC$. - Ta áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: \[ d = \frac{|SA| \cdot |AC|}{\sqrt{SA^2 + AC^2}} = \frac{\frac{a}{2} \cdot a}{\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{\frac{5a^2}{4}}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}} = \frac{a}{\sqrt{5}} \] Kết luận: Khẳng định d) là sai. Đáp án cuối cùng a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Câu 2: a) Mệnh đề sai vì hàm số $y=\log_{\frac12}(x+9)$ chỉ nghịch biến trên khoảng $(−9; +∞)$ chứ không phải trên toàn bộ tập số thực $\mathbb R$. b) Mệnh đề đúng vì đạo hàm của hàm số $y=\log_{\frac12}(x^2+9)$ là $y' = \frac{2x}{(x^2+9)\ln\left(\frac{1}{2}\right)}$. c) Mệnh đề sai vì tập xác định của hàm số $y=\log_{\frac12}(x^2-6x+9)$ là $D = \mathbb R \setminus \{3\}$, do $x^2 - 6x + 9 > 0$ và $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$, chỉ bằng 0 khi $x=3$. d) Mệnh đề đúng vì thay $x = 5$ vào hàm số $y=\log_{\frac12}(x^2-6x+9)$ ta có: \[ y = \log_{\frac12}((5)^2 - 6(5) + 9) = \log_{\frac12}(25 - 30 + 9) = \log_{\frac12}(4) = -2 \] Do đó, đồ thị hàm số đi qua điểm $M(5; -2)$.