Àhmnnchfjfjfjf

Câu 4. Để tính gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 12 m/s, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của vật: Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian \( t \). Ta có: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 7t - 2\right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm, ta được: \[ v(t) = t^2 - 4t + 7 \] 2. Xác định thời điểm mà vận tốc bằng 12 m/s: Ta cần giải phương trình: \[ t^2 - 4t + 7 = 12 \] Đặt phương trình về dạng chuẩn: \[ t^2 - 4t + 7 - 12 = 0 \implies t^2 - 4t - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \): \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] Vì \( t > 0 \), ta loại nghiệm \( t = -1 \). Vậy thời điểm mà vận tốc bằng 12 m/s là \( t = 5 \) giây. 3. Tìm gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây: Gia tốc của vật là đạo hàm của vận tốc theo thời gian \( t \). Ta có: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2 - 4t + 7) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm, ta được: \[ a(t) = 2t - 4 \] Thay \( t = 5 \) vào biểu thức gia tốc: \[ a(5) = 2 \cdot 5 - 4 = 10 - 4 = 6 \text{ m/s}^2 \] Vậy gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 12 m/s là 6 m/s². Câu 1. Để tìm tốc độ truyền bệnh lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của đạo hàm \( f'(t) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( f(t) \): \[ f(t) = 45t^2 - \frac{5}{3}t^3 \] \[ f'(t) = \frac{d}{dt}\left(45t^2 - \frac{5}{3}t^3\right) = 90t - 5t^2 \] Bước 2: Tìm giá trị cực đại của \( f'(t) \): Đạo hàm của \( f'(t) \) là: \[ f''(t) = \frac{d}{dt}(90t - 5t^2) = 90 - 10t \] Đặt \( f''(t) = 0 \) để tìm điểm cực trị: \[ 90 - 10t = 0 \] \[ 10t = 90 \] \[ t = 9 \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: - Nếu \( t < 9 \), \( f''(t) > 0 \) (điều này cho thấy \( f'(t) \) đang tăng). - Nếu \( t > 9 \), \( f''(t) < 0 \) (điều này cho thấy \( f'(t) \) đang giảm). Do đó, \( t = 9 \) là điểm cực đại của \( f'(t) \). Bước 4: Tính giá trị của \( f'(t) \) tại \( t = 9 \): \[ f'(9) = 90 \cdot 9 - 5 \cdot 9^2 = 810 - 405 = 405 \] Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất là 405 người/ngày, đạt được khi \( t = 9 \). Đáp số: 405 người/ngày. Câu 2. Xác suất để cả hai hãng hàng không đều không khởi hành đúng giờ là: \[ P(\text{không khởi hành đúng giờ}) = (1 - 0,9) \times (1 - 0,85) = 0,1 \times 0,15 = 0,015 \] Xác suất để ít nhất một trong hai hãng hàng không khởi hành đúng giờ là: \[ P(\text{ít nhất một hãng khởi hành đúng giờ}) = 1 - P(\text{không khởi hành đúng giờ}) = 1 - 0,015 = 0,985 \] Đáp số: 0,985 Câu 3. 1) Xét tam giác SAK vuông tại K, ta có: \[ \tan(\angle ASK) = \frac{AK}{SK} \] Trong đó, \( AK = \sqrt{AB^2 + BK^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \) Vì \( SK \perp (ABCD) \), nên \( SK = SA \cdot \sin(45^\circ) = 2a\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2a \) Do đó: \[ \tan(\angle ASK) = \frac{a\sqrt{2}}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là: \[ \angle ASK = \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] 2) Để tính khoảng cách từ D đến (SAC), ta cần tìm diện tích của tam giác SAC và SACD. Diện tích tam giác SAC: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SK \] Trong đó, \( AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5} \) \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times 2a = a^2\sqrt{5} \] Diện tích tam giác SACD: \[ S_{SACD} = \frac{1}{2} \times AC \times SD \] Trong đó, \( SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(2a\sqrt{2})^2 + (2a)^2} = \sqrt{8a^2 + 4a^2} = 2a\sqrt{3} \) \[ S_{SACD} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times 2a\sqrt{3} = a^2\sqrt{15} \] Khoảng cách từ D đến (SAC): \[ d(D, (SAC)) = \frac{2 \times S_{SACD}}{AC} = \frac{2 \times a^2\sqrt{15}}{a\sqrt{5}} = 2a\sqrt{3} \] Đáp số: 1) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là \( \arctan\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) 2) Khoảng cách từ D đến (SAC) là \( 2a\sqrt{3} \)