Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 4: ( 0,5 điểm),Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau, cạnh $AB=5,$ góc,$\widehat{ACB}=30^0.$ Tính diện tích tam giác ABC .

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích tam giác dựa trên các thông tin đã cho.

Trước tiên, ta cần tìm độ dài của các cạnh còn lại của tam giác ABC. Ta biết rằng trong tam giác ABC, hai đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Điều này cung cấp cho chúng ta một số thông tin quan trọng về hình học của tam giác.

1. Tìm độ dài các cạnh AC và BC:
   - Ta biết rằng góc $\widehat{ACB} = 30^\circ$. 
   - Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC:
     $$
     \frac{AB}{\sin(\widehat{ACB})} = \frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})}
     $$
     Vì $\widehat{ACB} = 30^\circ$, ta có:
     $$
     \frac{5}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})}
     $$
     Biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có:
     $$
     \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10
     $$
     Do đó:
     $$
     BC = 10 \cdot \sin(\widehat{BAC})
     $$
     $$
     AC = 10 \cdot \sin(\widehat{ABC})
     $$

2. Áp dụng tính chất của đường trung tuyến:
   - Đường trung tuyến AM chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BM = MC.
   - Đường trung tuyến BN chia cạnh AC thành hai đoạn bằng nhau, tức là AN = NC.
   - Vì AM và BN vuông góc với nhau, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông để tìm diện tích tam giác ABC.

3. Tính diện tích tam giác ABC:
   - Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng công thức:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\widehat{ACB})
     $$
     Thay các giá trị đã biết:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 5 \times AC \times \sin(30^\circ)
     $$
     Biết rằng $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có:
     $$
     S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 5 \times AC \times \frac{1}{2}
     $$
     $$
     S_{ABC} = \frac{5}{4} \times AC
     $$

4. Tìm AC:
   - Ta biết rằng trong tam giác ABC, góc $\widehat{ACB} = 30^\circ$ và AB = 5. 
   - Áp dụng định lý cos trong tam giác ABC:
     $$
     AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ACB})
     $$
     Thay các giá trị:
     $$
     5^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(30^\circ)
     $$
     Biết rằng $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có:
     $$
     25 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
     $$
     $$
     25 = AC^2 + BC^2 - \sqrt{3} \cdot AC \cdot BC
     $$

5. Giải phương trình:
   - Ta cần tìm AC và BC sao cho thỏa mãn phương trình trên. 
   - Ta thấy rằng nếu ta giả sử AC = BC, thì phương trình trở nên đơn giản hơn:
     $$
     25 = 2 \cdot AC^2 - \sqrt{3} \cdot AC^2
     $$
     $$
     25 = AC^2 (2 - \sqrt{3})
     $$
     $$
     AC^2 = \frac{25}{2 - \sqrt{3}}
     $$
     Nhân cả tử và mẫu với $(2 + \sqrt{3})$ để có:
     $$
     AC^2 = \frac{25 (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}
     $$
     $$
     AC^2 = \frac{25 (2 + \sqrt{3})}{4 - 3}
     $$
     $$
     AC^2 = 25 (2 + \sqrt{3})
     $$
     $$
     AC = 5 \sqrt{2 + \sqrt{3}}
     $$

6. Tính diện tích cuối cùng:
   - Thay AC vào công thức diện tích:
     $$
     S_{ABC} = \frac{5}{4} \times 5 \sqrt{2 + \sqrt{3}}
     $$
     $$
     S_{ABC} = \frac{25}{4} \sqrt{2 + \sqrt{3}}
     $$

Vậy diện tích tam giác ABC là:
$$
S_{ABC} = \frac{25}{4} \sqrt{2 + \sqrt{3}}
$$