Giúo minh ạ u) (P) vuông góc với mặt phẳng $(Q):~x+2y-z+3=0$,Câu 3. Cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[0;3].F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên,đoạn $[0;3]$ thỏa man $F(3)=2$ và $F(0)=1.$,a) Hiệu số $F(3)-F(0)$ gọi là tích phân từ 3 đến 0 của hàm số $f(x).$,$b)~\int^3_0f(x)dx=-\int^0_3f(x)dx=F(3)-F(0)$,$c)~\int^3_0f(t)dt=1.$,d) Hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0,~x=3$,có diện tích bằng 1.,Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$ và mặt phẳng $(Q):~x-2y+$,$z=0.$,$a)~\overrightarrow n=(1;1;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).,b) Điểm $A(1;0;3)$ thuộc mặt phẳng (Q).,c) Khoảng cách từ điểm $B(1;2;3)$ đến điểm A bằng $\sqrt2.$,d) Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng $90^0.$,PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{x^2}$ thỏa mãn $F(2)=\frac32.$ Tính $F(1).$,Câu 2. Gọi $F(x)=(ax^2+bx+c)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1)^2e^x.$ Tính $S=$,$a+2b+c.$,Câu 3. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x^2-2x,~y=x.$,Câu 4. Cho $I=\int^1_{\frac{(x^2+2x)}{x+1}dx=a+b\ln2;a,b\in Q.$ Tính $S=ab.$,Câu 5: Thể tích hình phẳng giới hạn bởi $y=(x-2)^2,~y=0,~x=0,~x=2$ khi xoay quanh trục hoành là.,Câu 6. Bạn An cần mua một chiếc gương có viền là đường parabil bậc 2 như hình vẽ. Biết rằng đoạn,$AB=60~cm,~OH=30~cm.$ Diện tích của chiếc gương bạn An mua bằng bao nhiêu $cm^2?$

Question

Accepted Answer

Câu 3.
a) Hiệu số $F(3) - F(0)$ gọi là tích phân từ 0 đến 3 của hàm số $f(x)$.

b) $\int_{0}^{3} f(x) dx = -\int_{3}^{0} f(x) dx = F(3) - F(0)$

c) $\int_{0}^{3} f(t) dt = F(3) - F(0) = 2 - 1 = 1$

d) Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 3$ bằng tích phân từ 0 đến 3 của hàm số $f(x)$, tức là $\int_{0}^{3} f(x) dx$.

Theo phần c), ta đã tính được $\int_{0}^{3} f(x) dx = 1$. Do đó, diện tích hình thang cong là 1.

Đáp số: 
a) Tích phân từ 0 đến 3 của hàm số $f(x)$.
b) $\int_{0}^{3} f(x) dx = -\int_{3}^{0} f(x) dx = F(3) - F(0)$
c) $\int_{0}^{3} f(t) dt = 1$
d) Diện tích hình thang cong là 1.

Câu 4.
a) Mặt phẳng $(P):~x+y+z-3=0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$. Do đó, $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

b) Để kiểm tra điểm $A(1;0;3)$ có thuộc mặt phẳng $(Q):~x-2y+z=0$ hay không, ta thay tọa độ của điểm A vào phương trình của mặt phẳng (Q):
$$ 1 - 2 \cdot 0 + 3 = 1 + 3 = 4 \neq 0 $$
Do đó, điểm $A(1;0;3)$ không thuộc mặt phẳng (Q).

c) Khoảng cách từ điểm $B(1;2;3)$ đến điểm $A(1;0;3)$ được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
$$ AB = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{0 + 4 + 0} = \sqrt{4} = 2 $$
Do đó, khoảng cách từ điểm B đến điểm A là 2, không phải $\sqrt{2}$.

d) Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được xác định thông qua góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow{n_1} = (1;1;1)$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\overrightarrow{n_2} = (1;-2;1)$. Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này:
$$ \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = 1 - 2 + 1 = 0 $$
Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc với nhau, do đó góc giữa hai mặt phẳng là $90^\circ$.

Kết luận:
a) Đúng.
b) Sai.
c) Sai.
d) Đúng.

Câu 1.
Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của hàm số $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

Nguyên hàm của $\frac{1}{x^2}$ là:
$$ F(x) = \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C $$

Biết rằng $F(2) = \frac{3}{2}$, ta thay vào để tìm hằng số $C$:
$$ F(2) = -\frac{1}{2} + C = \frac{3}{2} $$
$$ C = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 $$

Vậy, $F(x) = -\frac{1}{x} + 2$.

Bây giờ, ta tính $F(1)$:
$$ F(1) = -\frac{1}{1} + 2 = -1 + 2 = 1 $$

Đáp số: $F(1) = 1$.

Câu 2.
Để tính $S = a + 2b + c$, chúng ta cần tìm các hệ số $a$, $b$, và $c$ trong biểu thức $F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x-1)^2e^x$.

Bước 1: Tìm đạo hàm của $F(x)$.
$$
F'(x) = \left[(ax^2 + bx + c)e^x\right]' = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx + c)e^x = (ax^2 + (2a+b)x + (b+c))e^x
$$

Bước 2: So sánh $F'(x)$ với $f(x)$.
$$
(ax^2 + (2a+b)x + (b+c))e^x = (x-1)^2e^x = (x^2 - 2x + 1)e^x
$$

Bước 3: So sánh hệ số tương ứng của hai vế.
$$
ax^2 + (2a+b)x + (b+c) = x^2 - 2x + 1
$$

Từ đó, ta có:
$$
a = 1
$$
$$
2a + b = -2 \implies 2(1) + b = -2 \implies b = -4
$$
$$
b + c = 1 \implies -4 + c = 1 \implies c = 5
$$

Bước 4: Tính $S = a + 2b + c$.
$$
S = 1 + 2(-4) + 5 = 1 - 8 + 5 = -2
$$

Vậy, $S = -2$.

Câu 3.
Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $ y = x^2 - 2x $ và $ y = x $, chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Ta giải phương trình:
$$ x^2 - 2x = x $$
$$ x^2 - 3x = 0 $$
$$ x(x - 3) = 0 $$

Vậy, các giao điểm là $ x = 0 $ và $ x = 3 $.

Bước 2: Xác định khoảng tích phân
Diện tích S sẽ được tính trên khoảng từ $ x = 0 $ đến $ x = 3 $.

Bước 3: Tính diện tích S
Diện tích S được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số $ y = x $ và hàm số $ y = x^2 - 2x $ trên khoảng từ 0 đến 3.

$$ S = \int_{0}^{3} [x - (x^2 - 2x)] \, dx $$
$$ S = \int_{0}^{3} (x - x^2 + 2x) \, dx $$
$$ S = \int_{0}^{3} (3x - x^2) \, dx $$

Bước 4: Tính tích phân
$$ S = \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} $$
$$ S = \left( \frac{3 \cdot 3^2}{2} - \frac{3^3}{3} \right) - \left( \frac{3 \cdot 0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) $$
$$ S = \left( \frac{27}{2} - 9 \right) - 0 $$
$$ S = \frac{27}{2} - 9 $$
$$ S = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} $$
$$ S = \frac{9}{2} $$

Kết luận:
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $ y = x^2 - 2x $ và $ y = x $ là $ \frac{9}{2} $.

Câu 4.
Để tính tích phân $ I = \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 2x}{x + 1} \, dx $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân:
$$ \frac{x^2 + 2x}{x + 1} = \frac{x(x + 2)}{x + 1} $$

Ta thấy rằng $ x^2 + 2x $ có thể viết lại thành $ x(x + 2) $. Ta sẽ chia $ x(x + 2) $ cho $ x + 1 $:
$$ \frac{x^2 + 2x}{x + 1} = x + 1 - \frac{1}{x + 1} $$

Bước 2: Tính tích phân từng phần:
$$ I = \int_{0}^{1} \left( x + 1 - \frac{1}{x + 1} \right) \, dx $$
$$ I = \int_{0}^{1} x \, dx + \int_{0}^{1} 1 \, dx - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} \, dx $$

Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$ \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} $$

$$ \int_{0}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1 $$

$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} \, dx = \left[ \ln |x + 1| \right]_{0}^{1} = \ln |1 + 1| - \ln |0 + 1| = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 $$

Bước 4: Kết hợp các kết quả:
$$ I = \frac{1}{2} + 1 - \ln 2 = \frac{3}{2} - \ln 2 $$

Bước 5: So sánh với dạng $ a + b \ln 2 $:
$$ \frac{3}{2} - \ln 2 = a + b \ln 2 $$

Từ đó suy ra:
$$ a = \frac{3}{2}, \quad b = -1 $$

Bước 6: Tính $ S = ab $:
$$ S = \left( \frac{3}{2} \right) \times (-1) = -\frac{3}{2} $$

Vậy đáp án cuối cùng là:
$$ S = -\frac{3}{2} $$

Câu 5:
Để tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = (x - 2)^2$, $y = 0$, $x = 0$, và $x = 2$ quanh trục hoành, ta sử dụng phương pháp thể tích của khối tròn xoay.

Bước 1: Xác định khoảng tích phân
Hình phẳng giới hạn bởi các đường trên nằm trong khoảng từ $x = 0$ đến $x = 2$.

Bước 2: Viết biểu thức cho thể tích
Thể tích $V$ của khối tròn xoay khi xoay quanh trục hoành được tính bằng công thức:
$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$

Trong đó, $f(x) = (x - 2)^2$, $a = 0$, và $b = 2$.

Bước 3: Tính tích phân
$$ V = \pi \int_{0}^{2} [(x - 2)^2]^2 \, dx $$
$$ V = \pi \int_{0}^{2} (x - 2)^4 \, dx $$

Bước 4: Thực hiện tích phân
Để tính $\int (x - 2)^4 \, dx$, ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt $u = x - 2$, thì $du = dx$. Khi $x = 0$, $u = -2$; khi $x = 2$, $u = 0$.

Do đó:
$$ V = \pi \int_{-2}^{0} u^4 \, du $$

Tích phân của $u^4$ là:
$$ \int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + C $$

Áp dụng cận trên và cận dưới:
$$ V = \pi \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{-2}^{0} $$
$$ V = \pi \left( \frac{0^5}{5} - \frac{(-2)^5}{5} \right) $$
$$ V = \pi \left( 0 - \frac{-32}{5} \right) $$
$$ V = \pi \left( \frac{32}{5} \right) $$
$$ V = \frac{32\pi}{5} $$

Vậy thể tích của khối tròn xoay là:
$$ V = \frac{32\pi}{5} $$

Câu 6.
Để tính diện tích của chiếc gương, ta sẽ tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và đoạn thẳng $AB$. Ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính diện tích này.

Trước tiên, ta xác định phương trình của đường parabol. Ta giả sử đường parabol có dạng $y = ax^2 + bx + c$. Vì điểm $O$ nằm trên trục đối xứng của parabol và $OH = 30$ cm, ta có thể chọn hệ tọa độ sao cho đỉnh của parabol là điểm $(0, 30)$.

Do đó, phương trình của đường parabol có dạng:
$$ y = -ax^2 + 30 $$

Ta biết rằng điểm $A$ và $B$ nằm trên đường thẳng $x = -30$ và $x = 30$ tương ứng, và chúng cũng nằm trên đường parabol. Do đó, ta có:
$$ 0 = -a(30)^2 + 30 $$
$$ 0 = -900a + 30 $$
$$ 900a = 30 $$
$$ a = \frac{1}{30} $$

Vậy phương trình của đường parabol là:
$$ y = -\frac{1}{30}x^2 + 30 $$

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và đoạn thẳng $AB$ là:
$$ S = 2 \int_{0}^{30} \left( -\frac{1}{30}x^2 + 30 \right) dx $$

Ta tính tích phân:
$$ \int_{0}^{30} \left( -\frac{1}{30}x^2 + 30 \right) dx = \left[ -\frac{1}{90}x^3 + 30x \right]_{0}^{30} $$
$$ = \left( -\frac{1}{90}(30)^3 + 30(30) \right) - \left( -\frac{1}{90}(0)^3 + 30(0) \right) $$
$$ = \left( -\frac{1}{90}(27000) + 900 \right) - 0 $$
$$ = \left( -300 + 900 \right) $$
$$ = 600 $$

Vậy diện tích của hình phẳng là:
$$ S = 2 \times 600 = 1200 $$

Diện tích của chiếc gương bạn An mua là:
$$ \boxed{1200} \text{ cm}^2 $$