giải ra tự luận

Câu 2. Để tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{2x-3} \) tại điểm \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{2x-3} \) là một phân thức đại số. Ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \] Trong đó: - \( u(x) = x + 1 \) - \( v(x) = 2x - 3 \) Tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \): - \( u'(x) = 1 \) - \( v'(x) = 2 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(1)(2x-3) - (x+1)(2)}{(2x-3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x - 3 - 2x - 2}{(2x-3)^2} \] \[ f'(x) = \frac{-5}{(2x-3)^2} \] Bước 2: Thay \( x = 2 \) vào đạo hàm \( f'(x) \). \[ f'(2) = \frac{-5}{(2 \cdot 2 - 3)^2} \] \[ f'(2) = \frac{-5}{(4 - 3)^2} \] \[ f'(2) = \frac{-5}{1^2} \] \[ f'(2) = -5 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( f(x) = \frac{x+1}{2x-3} \) tại điểm \( x = 2 \) là \(-5\). Câu 3. Để tính thể tích khối chóp A.CC'B', chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy của lăng trụ ABC.A'B'C': - Vì đáy là tam giác đều cạnh bằng 5, diện tích tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S_{\Delta ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 5^2 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \] 2. Tính chiều cao của lăng trụ: - Mặt phẳng (BCC'B') vuông góc với mặt phẳng đáy và góc $\widehat{B^\prime BC} = 30^0$. - Chiều cao của lăng trụ là đoạn thẳng từ B' hạ vuông góc xuống đáy, tức là đoạn thẳng B'P, trong đó P là hình chiếu của B' trên mặt đáy ABC. - Ta có: \[ B'P = B'C' \times \sin(30^0) = 20 \times \frac{1}{2} = 10 \] 3. Tính thể tích khối chóp A.CC'B': - Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức: \[ V_{A.CC'B'} = \frac{1}{3} \times S_{\Delta CC'B'} \times AP \] - Diện tích tam giác CC'B': \[ S_{\Delta CC'B'} = \frac{1}{2} \times CC' \times C'B' \times \sin(\widehat{CC'B'}) = \frac{1}{2} \times 20 \times 20 \times \sin(90^0) = 200 \] - Chiều cao AP từ đỉnh A đến đáy CC'B' là: \[ AP = \frac{1}{3} \times 10 = \frac{10}{3} \] - Vậy thể tích khối chóp A.CC'B' là: \[ V_{A.CC'B'} = \frac{1}{3} \times 200 \times \frac{10}{3} = \frac{2000}{9} \approx 222.2 \] Đáp số: Thể tích khối chóp A.CC'B' là 222.2 (đơn vị thể tích). Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình $2^{x^2-2x} = 8$ không có điều kiện hạn chế nào khác ngoài việc $x$ phải là số thực. Bước 2: Chuyển phương trình về dạng cơ bản Ta biết rằng $8 = 2^3$, do đó phương trình trở thành: \[ 2^{x^2 - 2x} = 2^3 \] Bước 3: So sánh các mũ Vì hai lũy thừa cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ: \[ x^2 - 2x = 3 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = \frac{6}{2} \text{ hoặc } x = \frac{-2}{2} \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 5: Tìm giá trị của biểu thức $P = x_1 + x_2$ Theo kết quả trên, hai nghiệm của phương trình là $x_1 = 3$ và $x_2 = -1$. Do đó: \[ P = x_1 + x_2 = 3 + (-1) = 2 \] Vậy giá trị của biểu thức $P$ là: \[ \boxed{2} \] Câu 5. Để tính thể tích của khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: - Đáy ABCD là hình vuông với cạnh \( AB = 2 \). - Diện tích đáy \( S_{ABCD} \) là: \[ S_{ABCD} = AB^2 = 2^2 = 4 \] 2. Xác định chiều cao của khối chóp: - Chiều cao của khối chóp là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt đáy ABCD, tức là \( SO = 3 \). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích \( V \) của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO \] - Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 4 \times 3 = 4 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là \( 4 \).