Câu 8:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 9:
Để tìm đạo hàm của hàm số , chúng ta sẽ áp dụng các công thức đạo hàm cơ bản.
1. Đạo hàm của :
2. Đạo hàm của :
Do đó, đạo hàm của hàm số là:
Vậy đáp án đúng là:
A. .
Câu 10:
Để tìm đạo hàm cấp hai của hàm số , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm đạo hàm cấp một của hàm số:
Áp dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản:
2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số:
Áp dụng công thức đạo hàm của các hàm cơ bản:
Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 11:
Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai tia nằm trên hai đường thẳng đó và có chung gốc.
Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông và SB vuông góc với mặt đáy. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng BC và SD.
Bước 1: Xác định góc giữa BC và SD.
- Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy ABCD. Vì SB vuông góc với mặt đáy, nên H nằm trên đường thẳng AB.
- Gọi I là điểm trên SD sao cho SI = SH. Khi đó, góc BCI sẽ là góc giữa BC và SD.
Bước 2: Xác định góc giữa các đường thẳng khác.
- Góc giữa CD và SD: Gọi J là điểm trên SD sao cho SJ = SH. Khi đó, góc CDJ sẽ là góc giữa CD và SD.
- Góc giữa BD và SD: Gọi K là điểm trên SD sao cho SK = SH. Khi đó, góc BDK sẽ là góc giữa BD và SD.
- Góc giữa AC và SD: Gọi L là điểm trên SD sao cho SL = SH. Khi đó, góc ACL sẽ là góc giữa AC và SD.
- Góc giữa AD và SD: Gọi M là điểm trên SD sao cho SM = SH. Khi đó, góc ADM sẽ là góc giữa AD và SD.
Bước 3: So sánh các góc.
- Vì đáy ABCD là hình vuông, nên các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O của hình vuông.
- Góc giữa BC và SD là góc BCI.
- Góc giữa BD và SD là góc BDK.
- Góc giữa AC và SD là góc ACL.
- Góc giữa AD và SD là góc ADM.
Ta thấy rằng góc giữa BC và SD là góc BCI, và góc giữa BD và SD là góc BDK. Vì BD là đường chéo của hình vuông, nên góc BDK sẽ là góc giữa BD và SD.
Vậy góc giữa hai đường thẳng BC và SD bằng góc giữa hai đường thẳng BD và SD.
Đáp án đúng là: B. BD và SD.
Câu 12:
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mặt phẳng một để xem đường thẳng SB có vuông góc với chúng hay không.
1. Mặt phẳng (ABC):
- Ta biết rằng SB vuông góc với AB và SB vuông góc với AC.
- Vì AB và AC là hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) và cắt nhau tại A, nên SB vuông góc với mặt phẳng (ABC).
2. Mặt phẳng (ABD):
- Ta biết rằng SB vuông góc với AB.
- Mặt khác, vì ABCD là hình vuông, nên BD vuông góc với AC tại tâm O của hình vuông.
- Do SB vuông góc với AC và AC vuông góc với BD, nên SB cũng vuông góc với BD.
- Vì AB và BD là hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABD) và cắt nhau tại B, nên SB vuông góc với mặt phẳng (ABD).
3. Mặt phẳng (BCD):
- Ta biết rằng SB vuông góc với BC (vì SB vuông góc với AB và ABCD là hình vuông, do đó SB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCD)).
- Mặt khác, vì SB vuông góc với AC và AC vuông góc với BD tại tâm O của hình vuông, nên SB cũng vuông góc với BD.
- Vì BC và BD là hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng (BCD) và cắt nhau tại B, nên SB vuông góc với mặt phẳng (BCD).
4. Mặt phẳng (SBC):
- Ta biết rằng SB nằm trong mặt phẳng (SBC), do đó SB không thể vuông góc với chính nó.
Từ các lập luận trên, ta thấy rằng SB vuông góc với các mặt phẳng (ABC), (ABD), và (BCD), nhưng không vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Vậy đáp án đúng là:
D. (SBC).
Câu 1:
a) Ta có:
b) Ta có:
Biến đổi:
c) Tập xác định của hàm số :
Điều kiện để hàm số có nghĩa là:
Giải bất phương trình:
Vậy tập xác định của hàm số là:
d) Cho . Khi đó:
Đáp số:
a)
b)
c) Tập xác định
d)
Câu 2:
a) Ta có .
Sử dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ, ta có:
Vậy .
b) Ta đã biết .
Bây giờ, ta tính đạo hàm thứ hai của :
Thay vào , ta có:
Vậy .
c) Ta có và .
Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số, ta có:
Ta đã biết và .
Do đó:
Rút gọn biểu thức trên:
Vậy .
d) Ta có .
Đạo hàm của là:
Thay vào để tìm hệ số góc của tiếp tuyến:
Tìm giá trị của tại :
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng 2 là:
Vậy phương trình tiếp tuyến là .